Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77711 / 57454
↖ ↑ ↗
← N 21.662533°
E 33.439636°		 ← 283.85 m → N 21.662533°
E 33.442383°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.659981°
E 33.439636°		 ← 283.86 m →
80 567 m²		 N 21.659981°
E 33.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592891693115234 y=0.438343048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592891693115234 × 217)
    floor (0.592891693115234 × 131072)
    floor (77711.5)     		tx = 77711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438343048095703 × 217)
    floor (0.438343048095703 × 131072)
    floor (57454.5)     		ty = 57454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77711 / 57454 ti = "17/77711/57454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77711/57454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77711 ÷ 217
    77711 ÷ 131072     		x = 0.592887878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57454 ÷ 217
    57454 ÷ 131072     		y = 0.438339233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592887878417969 × 2 - 1) × π
    0.185775756835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58363175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438339233398438 × 2 - 1) × π
    0.123321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.387426022729294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58363175} λ = 0.58363175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387426022729294))-π/2
    2×atan(1.47318396745866)-π/2
    2×0.974439430275394-π/2
    1.94887886055079-1.57079632675     		φ = 0.37808253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58363175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.439636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37808253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.662533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77711 KachelY 57454 0.58363175 0.37808253 33.439636 21.662533
    Oben rechts KachelX + 1 77712 KachelY 57454 0.58367969 0.37808253 33.442383 21.662533
    Unten links KachelX 77711 KachelY + 1 57455 0.58363175 0.37803798 33.439636 21.659981
    Unten rechts KachelX + 1 77712 KachelY + 1 57455 0.58367969 0.37803798 33.442383 21.659981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37808253-0.37803798) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37808253-0.37803798) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58363175-0.58367969) × cos(0.37808253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929374156807143 × 6371000     		do = 283.854789579512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58363175-0.58367969) × cos(0.37803798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929390601031869 × 6371000     		du = 283.859812069017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37808253)-sin(0.37803798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929374156807143-0.929390601031869)×R²
    abs(0.58367969-0.58363175)×1.64442247251317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64442247251317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64442247251317e-05×40589641000000     		ar = 80566.6641846203m²