Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77710 / 57454
↖ ↑ ↗
← N 21.662533°
E 33.436890°		 ← 283.80 m → N 21.662533°
E 33.439636°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.659981°
E 33.436890°		 ← 283.80 m →
80 550 m²		 N 21.659981°
E 33.439636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592884063720703 y=0.438343048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592884063720703 × 217)
    floor (0.592884063720703 × 131072)
    floor (77710.5)     		tx = 77710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438343048095703 × 217)
    floor (0.438343048095703 × 131072)
    floor (57454.5)     		ty = 57454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77710 / 57454 ti = "17/77710/57454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77710/57454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77710 ÷ 217
    77710 ÷ 131072     		x = 0.592880249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57454 ÷ 217
    57454 ÷ 131072     		y = 0.438339233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592880249023438 × 2 - 1) × π
    0.185760498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58358382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438339233398438 × 2 - 1) × π
    0.123321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.387426022729294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58358382} λ = 0.58358382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387426022729294))-π/2
    2×atan(1.47318396745866)-π/2
    2×0.974439430275394-π/2
    1.94887886055079-1.57079632675     		φ = 0.37808253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58358382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.436890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37808253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.662533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77710 KachelY 57454 0.58358382 0.37808253 33.436890 21.662533
    Oben rechts KachelX + 1 77711 KachelY 57454 0.58363175 0.37808253 33.439636 21.662533
    Unten links KachelX 77710 KachelY + 1 57455 0.58358382 0.37803798 33.436890 21.659981
    Unten rechts KachelX + 1 77711 KachelY + 1 57455 0.58363175 0.37803798 33.439636 21.659981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37808253-0.37803798) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37808253-0.37803798) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58358382-0.58363175) × cos(0.37808253) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929374156807143 × 6371000     		do = 283.795579152341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58358382-0.58363175) × cos(0.37803798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929390601031869 × 6371000     		du = 283.800600594185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37808253)-sin(0.37803798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929374156807143-0.929390601031869)×R²
    abs(0.58363175-0.58358382)×1.64442247251317e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64442247251317e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64442247251317e-05×40589641000000     		ar = 80549.8584558562m²