Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77709 / 57269
↖ ↑ ↗
← N 22.133988°
E 33.434143°		 ← 282.92 m → N 22.133988°
E 33.436890°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 22.131443°
E 33.434143°		 ← 282.92 m →
80 048 m²		 N 22.131443°
E 33.436890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592876434326172 y=0.436931610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592876434326172 × 217)
    floor (0.592876434326172 × 131072)
    floor (77709.5)     		tx = 77709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436931610107422 × 217)
    floor (0.436931610107422 × 131072)
    floor (57269.5)     		ty = 57269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77709 / 57269 ti = "17/77709/57269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77709/57269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77709 ÷ 217
    77709 ÷ 131072     		x = 0.592872619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57269 ÷ 217
    57269 ÷ 131072     		y = 0.436927795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592872619628906 × 2 - 1) × π
    0.185745239257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58353588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436927795410156 × 2 - 1) × π
    0.126144409179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.396294349159004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58353588} λ = 0.58353588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396294349159004))-π/2
    2×atan(1.48630674631064)-π/2
    2×0.978553642514849-π/2
    1.9571072850297-1.57079632675     		φ = 0.38631096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58353588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.434143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38631096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.133988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77709 KachelY 57269 0.58353588 0.38631096 33.434143 22.133988
    Oben rechts KachelX + 1 77710 KachelY 57269 0.58358382 0.38631096 33.436890 22.133988
    Unten links KachelX 77709 KachelY + 1 57270 0.58353588 0.38626655 33.434143 22.131443
    Unten rechts KachelX + 1 77710 KachelY + 1 57270 0.58358382 0.38626655 33.436890 22.131443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38631096-0.38626655) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38631096-0.38626655) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58353588-0.58358382) × cos(0.38631096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926305293403049 × 6371000     		do = 282.917479703358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58353588-0.58358382) × cos(0.38626655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926322025014465 × 6371000     		du = 282.922589968156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38631096)-sin(0.38626655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926305293403049-0.926322025014465)×R²
    abs(0.58358382-0.58353588)×1.673161141591e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.673161141591e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.673161141591e-05×40589641000000     		ar = 80048.2941106396m²