Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77708 / 83556
↖ ↑ ↗
← S 44.284537°
E 33.431396°		 ← 218.65 m → S 44.284537°
E 33.434143°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 44.286503°
E 33.431396°		 ← 218.64 m →
47 807 m²		 S 44.286503°
E 33.434143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592868804931641 y=0.637485504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592868804931641 × 217)
    floor (0.592868804931641 × 131072)
    floor (77708.5)     		tx = 77708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637485504150391 × 217)
    floor (0.637485504150391 × 131072)
    floor (83556.5)     		ty = 83556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77708 / 83556 ti = "17/77708/83556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77708/83556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77708 ÷ 217
    77708 ÷ 131072     		x = 0.592864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83556 ÷ 217
    83556 ÷ 131072     		y = 0.637481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592864990234375 × 2 - 1) × π
    0.18572998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58348794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.27496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.863822931153412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58348794} λ = 0.58348794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863822931153412))-π/2
    2×atan(0.421547451088786)-π/2
    2×0.398942676786129-π/2
    0.797885353572258-1.57079632675     		φ = -0.77291097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58348794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.431396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77291097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.284537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77708 KachelY 83556 0.58348794 -0.77291097 33.431396 -44.284537
    Oben rechts KachelX + 1 77709 KachelY 83556 0.58353588 -0.77291097 33.434143 -44.284537
    Unten links KachelX 77708 KachelY + 1 83557 0.58348794 -0.77294529 33.431396 -44.286503
    Unten rechts KachelX + 1 77709 KachelY + 1 83557 0.58353588 -0.77294529 33.434143 -44.286503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77291097--0.77294529) × R
    3.43200000000321e-05 × 6371000     		dl = 218.652720000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77291097--0.77294529) × R
    3.43200000000321e-05 × 6371000     		dr = 218.652720000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58348794-0.58353588) × cos(-0.77291097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715881201982955 × 6371000     		do = 218.64854586759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58348794-0.58353588) × cos(-0.77294529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715857238578792 × 6371000     		du = 218.641226827141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77291097)-sin(-0.77294529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715881201982955-0.715857238578792)×R²
    abs(0.58353588-0.58348794)×2.39634041634407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39634041634407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39634041634407e-05×40589641000000     		ar = 47807.2991186583m²