Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77707 / 59015
↖ ↑ ↗
← N 17.625700°
E 33.428650°		 ← 291.03 m → N 17.625700°
E 33.431396°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
N 17.623082°
E 33.428650°		 ← 291.03 m →
84 716 m²		 N 17.623082°
E 33.431396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592861175537109 y=0.450252532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592861175537109 × 217)
    floor (0.592861175537109 × 131072)
    floor (77707.5)     		tx = 77707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450252532958984 × 217)
    floor (0.450252532958984 × 131072)
    floor (59015.5)     		ty = 59015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77707 / 59015 ti = "17/77707/59015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77707/59015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77707 ÷ 217
    77707 ÷ 131072     		x = 0.592857360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59015 ÷ 217
    59015 ÷ 131072     		y = 0.450248718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592857360839844 × 2 - 1) × π
    0.185714721679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58344001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450248718261719 × 2 - 1) × π
    0.0995025634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.312596522422386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58344001} λ = 0.58344001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312596522422386))-π/2
    2×atan(1.36696987805022)-π/2
    2×0.939211407611957-π/2
    1.87842281522391-1.57079632675     		φ = 0.30762649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58344001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.428650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30762649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.625700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77707 KachelY 59015 0.58344001 0.30762649 33.428650 17.625700
    Oben rechts KachelX + 1 77708 KachelY 59015 0.58348794 0.30762649 33.431396 17.625700
    Unten links KachelX 77707 KachelY + 1 59016 0.58344001 0.30758080 33.428650 17.623082
    Unten rechts KachelX + 1 77708 KachelY + 1 59016 0.58348794 0.30758080 33.431396 17.623082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30762649-0.30758080) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dl = 291.090989999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30762649-0.30758080) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dr = 291.090989999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58344001-0.58348794) × cos(0.30762649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953054946422062 × 6371000     		do = 291.02679314116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58344001-0.58348794) × cos(0.30758080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953068780240751 × 6371000     		du = 291.031017464118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30762649)-sin(0.30758080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953054946422062-0.953068780240751)×R²
    abs(0.58348794-0.58344001)×1.38338186894682e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38338186894682e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38338186894682e-05×40589641000000     		ar = 84715.8921778563m²