Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77706 / 83607
↖ ↑ ↗
← S 44.384729°
E 33.425903°		 ← 218.28 m → S 44.384729°
E 33.428650°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 44.386691°
E 33.425903°		 ← 218.27 m →
47 642 m²		 S 44.386691°
E 33.428650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592853546142578 y=0.637874603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592853546142578 × 217)
    floor (0.592853546142578 × 131072)
    floor (77706.5)     		tx = 77706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637874603271484 × 217)
    floor (0.637874603271484 × 131072)
    floor (83607.5)     		ty = 83607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77706 / 83607 ti = "17/77706/83607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77706/83607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77706 ÷ 217
    77706 ÷ 131072     		x = 0.592849731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83607 ÷ 217
    83607 ÷ 131072     		y = 0.637870788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592849731445312 × 2 - 1) × π
    0.185699462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58339207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637870788574219 × 2 - 1) × π
    -0.275741577148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.866267713034035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58339207} λ = 0.58339207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866267713034035))-π/2
    2×atan(0.420518118278334)-π/2
    2×0.398068337001055-π/2
    0.796136674002109-1.57079632675     		φ = -0.77465965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58339207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.425903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77465965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.384729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77706 KachelY 83607 0.58339207 -0.77465965 33.425903 -44.384729
    Oben rechts KachelX + 1 77707 KachelY 83607 0.58344001 -0.77465965 33.428650 -44.384729
    Unten links KachelX 77706 KachelY + 1 83608 0.58339207 -0.77469391 33.425903 -44.386691
    Unten rechts KachelX + 1 77707 KachelY + 1 83608 0.58344001 -0.77469391 33.428650 -44.386691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77465965--0.77469391) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dl = 218.270459999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77465965--0.77469391) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dr = 218.270459999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58339207-0.58344001) × cos(-0.77465965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714659141038983 × 6371000     		do = 218.275296999452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58339207-0.58344001) × cos(-0.77469391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714635176678648 × 6371000     		du = 218.267977666964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77465965)-sin(-0.77469391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714659141038983-0.714635176678648)×R²
    abs(0.58344001-0.58339207)×2.39643603344719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39643603344719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39643603344719e-05×40589641000000     		ar = 47642.2506902706m²