Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77706 / 59018
↖ ↑ ↗
← N 17.617847°
E 33.425903°		 ← 291.10 m → N 17.617847°
E 33.428650°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
N 17.615229°
E 33.425903°		 ← 291.10 m →
84 737 m²		 N 17.615229°
E 33.428650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592853546142578 y=0.450275421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592853546142578 × 217)
    floor (0.592853546142578 × 131072)
    floor (77706.5)     		tx = 77706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450275421142578 × 217)
    floor (0.450275421142578 × 131072)
    floor (59018.5)     		ty = 59018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77706 / 59018 ti = "17/77706/59018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77706/59018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77706 ÷ 217
    77706 ÷ 131072     		x = 0.592849731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59018 ÷ 217
    59018 ÷ 131072     		y = 0.450271606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592849731445312 × 2 - 1) × π
    0.185699462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58339207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450271606445312 × 2 - 1) × π
    0.099456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312452711723526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58339207} λ = 0.58339207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312452711723526))-π/2
    2×atan(1.36677330729156)-π/2
    2×0.939142876371086-π/2
    1.87828575274217-1.57079632675     		φ = 0.30748943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58339207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.425903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30748943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.617847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77706 KachelY 59018 0.58339207 0.30748943 33.425903 17.617847
    Oben rechts KachelX + 1 77707 KachelY 59018 0.58344001 0.30748943 33.428650 17.617847
    Unten links KachelX 77706 KachelY + 1 59019 0.58339207 0.30744374 33.425903 17.615229
    Unten rechts KachelX + 1 77707 KachelY + 1 59019 0.58344001 0.30744374 33.428650 17.615229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30748943-0.30744374) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dl = 291.090989999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30748943-0.30744374) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dr = 291.090989999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58339207-0.58344001) × cos(0.30748943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953096438882623 × 6371000     		do = 291.100185136899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58339207-0.58344001) × cos(0.30744374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953110266732851 × 6371000     		du = 291.104408518287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30748943)-sin(0.30744374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953096438882623-0.953110266732851)×R²
    abs(0.58344001-0.58339207)×1.38278502275213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38278502275213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38278502275213e-05×40589641000000     		ar = 84737.2557895463m²