Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77706 / 57218
↖ ↑ ↗
← N 22.263681°
E 33.425903°		 ← 282.66 m → N 22.263681°
E 33.428650°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.261138°
E 33.425903°		 ← 282.66 m →
79 902 m²		 N 22.261138°
E 33.428650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592853546142578 y=0.436542510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592853546142578 × 217)
    floor (0.592853546142578 × 131072)
    floor (77706.5)     		tx = 77706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436542510986328 × 217)
    floor (0.436542510986328 × 131072)
    floor (57218.5)     		ty = 57218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77706 / 57218 ti = "17/77706/57218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77706/57218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77706 ÷ 217
    77706 ÷ 131072     		x = 0.592849731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57218 ÷ 217
    57218 ÷ 131072     		y = 0.436538696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592849731445312 × 2 - 1) × π
    0.185699462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58339207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436538696289062 × 2 - 1) × π
    0.126922607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.398739131039627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58339207} λ = 0.58339207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398739131039627))-π/2
    2×atan(1.48994488753185)-π/2
    2×0.979685427406706-π/2
    1.95937085481341-1.57079632675     		φ = 0.38857453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58339207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.425903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38857453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.263681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77706 KachelY 57218 0.58339207 0.38857453 33.425903 22.263681
    Oben rechts KachelX + 1 77707 KachelY 57218 0.58344001 0.38857453 33.428650 22.263681
    Unten links KachelX 77706 KachelY + 1 57219 0.58339207 0.38853016 33.425903 22.261138
    Unten rechts KachelX + 1 77707 KachelY + 1 57219 0.58344001 0.38853016 33.428650 22.261138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38857453-0.38853016) × R
    4.43699999999603e-05 × 6371000     		dl = 282.681269999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38857453-0.38853016) × R
    4.43699999999603e-05 × 6371000     		dr = 282.681269999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58339207-0.58344001) × cos(0.38857453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925450067162752 × 6371000     		do = 282.656271596048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58339207-0.58344001) × cos(0.38853016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925466876695897 × 6371000     		du = 282.661405660148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38857453)-sin(0.38853016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925450067162752-0.925466876695897)×R²
    abs(0.58344001-0.58339207)×1.68095331450901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68095331450901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68095331450901e-05×40589641000000     		ar = 79902.3594931758m²