Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77705 / 83604
↖ ↑ ↗
← S 44.378840°
E 33.423157°		 ← 218.30 m → S 44.378840°
E 33.425903°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 44.380803°
E 33.423157°		 ← 218.29 m →
47 647 m²		 S 44.380803°
E 33.425903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592845916748047 y=0.637851715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592845916748047 × 217)
    floor (0.592845916748047 × 131072)
    floor (77705.5)     		tx = 77705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637851715087891 × 217)
    floor (0.637851715087891 × 131072)
    floor (83604.5)     		ty = 83604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77705 / 83604 ti = "17/77705/83604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77705/83604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77705 ÷ 217
    77705 ÷ 131072     		x = 0.592842102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83604 ÷ 217
    83604 ÷ 131072     		y = 0.637847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592842102050781 × 2 - 1) × π
    0.185684204101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58334413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.27569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.866123902335175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58334413} λ = 0.58334413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866123902335175))-π/2
    2×atan(0.420578597631491)-π/2
    2×0.398119727400764-π/2
    0.796239454801527-1.57079632675     		φ = -0.77455687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58334413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.423157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77455687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.378840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77705 KachelY 83604 0.58334413 -0.77455687 33.423157 -44.378840
    Oben rechts KachelX + 1 77706 KachelY 83604 0.58339207 -0.77455687 33.425903 -44.378840
    Unten links KachelX 77705 KachelY + 1 83605 0.58334413 -0.77459113 33.423157 -44.380803
    Unten rechts KachelX + 1 77706 KachelY + 1 83605 0.58339207 -0.77459113 33.425903 -44.380803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77455687--0.77459113) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77455687--0.77459113) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58334413-0.58339207) × cos(-0.77455687) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.714731029086897 × 6371000     		do = 218.297253460189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58334413-0.58339207) × cos(-0.77459113) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.714707067243135 × 6371000     		du = 218.289934896327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77455687)-sin(-0.77459113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714731029086897-0.714707067243135)×R²
    abs(0.58339207-0.58334413)×2.3961843761855e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3961843761855e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3961843761855e-05×40589641000000     		ar = 47647.0432211737m²