Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77705 / 57065
↖ ↑ ↗
← N 22.652037°
E 33.423157°		 ← 281.87 m → N 22.652037°
E 33.425903°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.649502°
E 33.423157°		 ← 281.87 m →
79 445 m²		 N 22.649502°
E 33.425903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592845916748047 y=0.435375213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592845916748047 × 217)
    floor (0.592845916748047 × 131072)
    floor (77705.5)     		tx = 77705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435375213623047 × 217)
    floor (0.435375213623047 × 131072)
    floor (57065.5)     		ty = 57065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77705 / 57065 ti = "17/77705/57065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77705/57065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77705 ÷ 217
    77705 ÷ 131072     		x = 0.592842102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57065 ÷ 217
    57065 ÷ 131072     		y = 0.435371398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592842102050781 × 2 - 1) × π
    0.185684204101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58334413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435371398925781 × 2 - 1) × π
    0.129257202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.406073476681496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58334413} λ = 0.58334413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406073476681496))-π/2
    2×atan(1.50091283050054)-π/2
    2×0.983074475880315-π/2
    1.96614895176063-1.57079632675     		φ = 0.39535263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58334413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.423157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39535263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.652037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77705 KachelY 57065 0.58334413 0.39535263 33.423157 22.652037
    Oben rechts KachelX + 1 77706 KachelY 57065 0.58339207 0.39535263 33.425903 22.652037
    Unten links KachelX 77705 KachelY + 1 57066 0.58334413 0.39530839 33.423157 22.649502
    Unten rechts KachelX + 1 77706 KachelY + 1 57066 0.58339207 0.39530839 33.425903 22.649502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39535263-0.39530839) × R
    4.42399999999732e-05 × 6371000     		dl = 281.853039999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39535263-0.39530839) × R
    4.42399999999732e-05 × 6371000     		dr = 281.853039999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58334413-0.58339207) × cos(0.39535263) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.922860812067961 × 6371000     		do = 281.865446443326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58334413-0.58339207) × cos(0.39530839) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.922877849477138 × 6371000     		du = 281.870650106632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39535263)-sin(0.39530839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922860812067961-0.922877849477138)×R²
    abs(0.58339207-0.58334413)×1.70374091779113e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.70374091779113e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.70374091779113e-05×40589641000000     		ar = 79445.3662981639m²