Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77704 / 83580
↖ ↑ ↗
← S 44.331707°
E 33.420410°		 ← 218.47 m → S 44.331707°
E 33.423157°		 →
↑
218.46 m
↓
↑
218.46 m
↓
S 44.333672°
E 33.420410°		 ← 218.47 m →
47 727 m²		 S 44.333672°
E 33.423157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592838287353516 y=0.637668609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592838287353516 × 217)
    floor (0.592838287353516 × 131072)
    floor (77704.5)     		tx = 77704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637668609619141 × 217)
    floor (0.637668609619141 × 131072)
    floor (83580.5)     		ty = 83580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77704 / 83580 ti = "17/77704/83580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77704/83580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77704 ÷ 217
    77704 ÷ 131072     		x = 0.59283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83580 ÷ 217
    83580 ÷ 131072     		y = 0.637664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    0.1856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58329619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.27532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.864973416744293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58329619} λ = 0.58329619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864973416744293))-π/2
    2×atan(0.421062745697184)-π/2
    2×0.398531036686364-π/2
    0.797062073372727-1.57079632675     		φ = -0.77373425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58329619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77373425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.331707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77704 KachelY 83580 0.58329619 -0.77373425 33.420410 -44.331707
    Oben rechts KachelX + 1 77705 KachelY 83580 0.58334413 -0.77373425 33.423157 -44.331707
    Unten links KachelX 77704 KachelY + 1 83581 0.58329619 -0.77376854 33.420410 -44.333672
    Unten rechts KachelX + 1 77705 KachelY + 1 83581 0.58334413 -0.77376854 33.423157 -44.333672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77373425--0.77376854) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dl = 218.461589999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77373425--0.77376854) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dr = 218.461589999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58329619-0.58334413) × cos(-0.77373425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715306127146679 × 6371000     		do = 218.472903210165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58329619-0.58334413) × cos(-0.77376854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71528216448885 × 6371000     		du = 218.465584397665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77373425)-sin(-0.77376854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715306127146679-0.71528216448885)×R²
    abs(0.58334413-0.58329619)×2.39626578298902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39626578298902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39626578298902e-05×40589641000000     		ar = 47727.1383721241m²