Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77703 / 83582
↖ ↑ ↗
← S 44.335636°
E 33.417664°		 ← 218.41 m → S 44.335636°
E 33.420410°		 →
↑
218.46 m
↓
↑
218.46 m
↓
S 44.337601°
E 33.417664°		 ← 218.41 m →
47 714 m²		 S 44.337601°
E 33.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592830657958984 y=0.637683868408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592830657958984 × 217)
    floor (0.592830657958984 × 131072)
    floor (77703.5)     		tx = 77703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637683868408203 × 217)
    floor (0.637683868408203 × 131072)
    floor (83582.5)     		ty = 83582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77703 / 83582 ti = "17/77703/83582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77703/83582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77703 ÷ 217
    77703 ÷ 131072     		x = 0.592826843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83582 ÷ 217
    83582 ÷ 131072     		y = 0.637680053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592826843261719 × 2 - 1) × π
    0.185653686523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58324826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637680053710938 × 2 - 1) × π
    -0.275360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.865069290543533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58324826} λ = 0.58324826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865069290543533))-π/2
    2×atan(0.421022378747133)-π/2
    2×0.398496748277125-π/2
    0.796993496554251-1.57079632675     		φ = -0.77380283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58324826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.417664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77380283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.335636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77703 KachelY 83582 0.58324826 -0.77380283 33.417664 -44.335636
    Oben rechts KachelX + 1 77704 KachelY 83582 0.58329619 -0.77380283 33.420410 -44.335636
    Unten links KachelX 77703 KachelY + 1 83583 0.58324826 -0.77383712 33.417664 -44.337601
    Unten rechts KachelX + 1 77704 KachelY + 1 83583 0.58329619 -0.77383712 33.420410 -44.337601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77380283--0.77383712) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dl = 218.461589999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77380283--0.77383712) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dr = 218.461589999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58324826-0.58329619) × cos(-0.77380283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.715258200989988 × 6371000     		do = 218.412696228584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58324826-0.58329619) × cos(-0.77383712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.715234236650123 × 6371000     		du = 218.405378429116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77380283)-sin(-0.77383712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715258200989988-0.715234236650123)×R²
    abs(0.58329619-0.58324826)×2.3964339865179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3964339865179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3964339865179e-05×40589641000000     		ar = 47713.9855698821m²