Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77701 / 83585
↖ ↑ ↗
← S 44.341530°
E 33.412170°		 ← 218.44 m → S 44.341530°
E 33.414917°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 44.343494°
E 33.412170°		 ← 218.43 m →
47 705 m²		 S 44.343494°
E 33.414917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592815399169922 y=0.637706756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592815399169922 × 217)
    floor (0.592815399169922 × 131072)
    floor (77701.5)     		tx = 77701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637706756591797 × 217)
    floor (0.637706756591797 × 131072)
    floor (83585.5)     		ty = 83585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77701 / 83585 ti = "17/77701/83585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77701/83585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77701 ÷ 217
    77701 ÷ 131072     		x = 0.592811584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83585 ÷ 217
    83585 ÷ 131072     		y = 0.637702941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592811584472656 × 2 - 1) × π
    0.185623168945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58315238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637702941894531 × 2 - 1) × π
    -0.275405883789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.865213101242393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58315238} λ = 0.58315238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865213101242393))-π/2
    2×atan(0.420961835578091)-π/2
    2×0.398445319970761-π/2
    0.796890639941522-1.57079632675     		φ = -0.77390569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58315238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.412170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77390569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.341530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77701 KachelY 83585 0.58315238 -0.77390569 33.412170 -44.341530
    Oben rechts KachelX + 1 77702 KachelY 83585 0.58320032 -0.77390569 33.414917 -44.341530
    Unten links KachelX 77701 KachelY + 1 83586 0.58315238 -0.77393997 33.412170 -44.343494
    Unten rechts KachelX + 1 77702 KachelY + 1 83586 0.58320032 -0.77393997 33.414917 -44.343494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77390569--0.77393997) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dl = 218.397880000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77390569--0.77393997) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dr = 218.397880000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58315238-0.58320032) × cos(-0.77390569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715186312436833 × 6371000     		do = 218.436308713748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58315238-0.58320032) × cos(-0.77393997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715162352563955 × 6371000     		du = 218.428990751844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77390569)-sin(-0.77393997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715186312436833-0.715162352563955)×R²
    abs(0.58320032-0.58315238)×2.39598728777324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39598728777324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39598728777324e-05×40589641000000     		ar = 47705.227629141m²