Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77700 / 83583
↖ ↑ ↗
← S 44.337601°
E 33.409424°		 ← 218.41 m → S 44.337601°
E 33.412170°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 44.339565°
E 33.409424°		 ← 218.40 m →
47 698 m²		 S 44.339565°
E 33.412170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592807769775391 y=0.637691497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592807769775391 × 217)
    floor (0.592807769775391 × 131072)
    floor (77700.5)     		tx = 77700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637691497802734 × 217)
    floor (0.637691497802734 × 131072)
    floor (83583.5)     		ty = 83583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77700 / 83583 ti = "17/77700/83583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77700/83583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77700 ÷ 217
    77700 ÷ 131072     		x = 0.592803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83583 ÷ 217
    83583 ÷ 131072     		y = 0.637687683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592803955078125 × 2 - 1) × π
    0.18560791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58310445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637687683105469 × 2 - 1) × π
    -0.275375366210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.865117227443153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58310445} λ = 0.58310445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865117227443153))-π/2
    2×atan(0.421002196723361)-π/2
    2×0.398479604934004-π/2
    0.796959209868008-1.57079632675     		φ = -0.77383712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58310445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.409424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77383712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.337601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77700 KachelY 83583 0.58310445 -0.77383712 33.409424 -44.337601
    Oben rechts KachelX + 1 77701 KachelY 83583 0.58315238 -0.77383712 33.412170 -44.337601
    Unten links KachelX 77700 KachelY + 1 83584 0.58310445 -0.77387140 33.409424 -44.339565
    Unten rechts KachelX + 1 77701 KachelY + 1 83584 0.58315238 -0.77387140 33.412170 -44.339565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77383712--0.77387140) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77383712--0.77387140) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58310445-0.58315238) × cos(-0.77383712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.715234236650123 × 6371000     		do = 218.405378429116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58310445-0.58315238) × cos(-0.77387140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.715210278458376 × 6371000     		du = 218.398062507049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77383712)-sin(-0.77387140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715234236650123-0.715210278458376)×R²
    abs(0.58315238-0.58310445)×2.39581917470533e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39581917470533e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39581917470533e-05×40589641000000     		ar = 47698.4727430674m²