Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77700 / 59004
↖ ↑ ↗
← N 17.654491°
E 33.409424°		 ← 290.98 m → N 17.654491°
E 33.412170°		 →
↑
291.03 m
↓
↑
291.03 m
↓
N 17.651874°
E 33.409424°		 ← 290.98 m →
84 684 m²		 N 17.651874°
E 33.412170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592807769775391 y=0.450168609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592807769775391 × 217)
    floor (0.592807769775391 × 131072)
    floor (77700.5)     		tx = 77700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450168609619141 × 217)
    floor (0.450168609619141 × 131072)
    floor (59004.5)     		ty = 59004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77700 / 59004 ti = "17/77700/59004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77700/59004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77700 ÷ 217
    77700 ÷ 131072     		x = 0.592803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59004 ÷ 217
    59004 ÷ 131072     		y = 0.450164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592803955078125 × 2 - 1) × π
    0.18560791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58310445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450164794921875 × 2 - 1) × π
    0.09967041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.313123828318207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58310445} λ = 0.58310445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313123828318207))-π/2
    2×atan(1.36769087940375)-π/2
    2×0.939462663288516-π/2
    1.87892532657703-1.57079632675     		φ = 0.30812900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58310445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.409424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30812900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.654491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77700 KachelY 59004 0.58310445 0.30812900 33.409424 17.654491
    Oben rechts KachelX + 1 77701 KachelY 59004 0.58315238 0.30812900 33.412170 17.654491
    Unten links KachelX 77700 KachelY + 1 59005 0.58310445 0.30808332 33.409424 17.651874
    Unten rechts KachelX + 1 77701 KachelY + 1 59005 0.58315238 0.30808332 33.412170 17.651874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30812900-0.30808332) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dl = 291.027279999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30812900-0.30808332) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dr = 291.027279999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58310445-0.58315238) × cos(0.30812900) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.952902667373008 × 6371000     		do = 290.980292901615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58310445-0.58315238) × cos(0.30808332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95291652003962 × 6371000     		du = 290.984522980012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30812900)-sin(0.30808332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952902667373008-0.95291652003962)×R²
    abs(0.58315238-0.58310445)×1.38526666116912e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38526666116912e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38526666116912e-05×40589641000000     		ar = 84683.8187255615m²