Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7770 / 4938
↖ ↑ ↗
← N 57.961503°
W  9.272461°		 ← 1 296.10 m → N 57.961503°
W  9.250488°		 →
↑
1 296.31 m
↓
↑
1 296.31 m
↓
N 57.949845°
W  9.272461°		 ← 1 296.52 m →
1 680 415 m²		 N 57.949845°
W  9.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474273681640625 y=0.301422119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474273681640625 × 214)
    floor (0.474273681640625 × 16384)
    floor (7770.5)     		tx = 7770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301422119140625 × 214)
    floor (0.301422119140625 × 16384)
    floor (4938.5)     		ty = 4938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7770 / 4938 ti = "14/7770/4938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7770/4938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7770 ÷ 214
    7770 ÷ 16384     		x = 0.4742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4938 ÷ 214
    4938 ÷ 16384     		y = 0.3013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3013916015625 × 2 - 1) × π
    0.397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2478933709093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16183497} λ = -0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2478933709093))-π/2
    2×atan(3.48299783888777)-π/2
    2×1.29120769758806-π/2
    2.58241539517613-1.57079632675     		φ = 1.01161907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01161907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.961503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7770 KachelY 4938 -0.16183497 1.01161907 -9.272461 57.961503
    Oben rechts KachelX + 1 7771 KachelY 4938 -0.16145148 1.01161907 -9.250488 57.961503
    Unten links KachelX 7770 KachelY + 1 4939 -0.16183497 1.01141560 -9.272461 57.949845
    Unten rechts KachelX + 1 7771 KachelY + 1 4939 -0.16145148 1.01141560 -9.250488 57.949845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01161907-1.01141560) × R
    0.000203469999999983 × 6371000     		dl = 1296.30736999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01161907-1.01141560) × R
    0.000203469999999983 × 6371000     		dr = 1296.30736999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16183497--0.16145148) × cos(1.01161907) × R
    0.000383489999999986 × 0.530488944832297 × 6371000     		do = 1296.09843594572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16183497--0.16145148) × cos(1.01141560) × R
    0.000383489999999986 × 0.530661413711517 × 6371000     		du = 1296.51981446224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01161907)-sin(1.01141560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530488944832297-0.530661413711517)×R²
    abs(-0.16145148--0.16183497)×0.000172468879220067×R²
    0.000383489999999986×0.000172468879220067×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172468879220067×40589641000000     		ar = 1680415.07859766m²