Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 777 / 910
↖ ↑ ↗
← N 19.642588°
W 43.417969°		 ← 18.409 km → N 19.642588°
W 43.242188°		 →
↑
18.418 km
↓
↑
18.418 km
↓
N 19.476950°
W 43.417969°		 ← 18.427 km →
339.224 km²		 N 19.476950°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379638671875 y=0.444580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379638671875 × 211)
    floor (0.379638671875 × 2048)
    floor (777.5)     		tx = 777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444580078125 × 211)
    floor (0.444580078125 × 2048)
    floor (910.5)     		ty = 910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 777 / 910 ti = "11/777/910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/777/910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 777 ÷ 211
    777 ÷ 2048     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 910 ÷ 211
    910 ÷ 2048     		y = 0.4443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.34974761962793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34974761962793))-π/2
    2×atan(1.41870944898791)-π/2
    2×0.956812076432601-π/2
    1.9136241528652-1.57079632675     		φ = 0.34282783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34282783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.642588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 777 KachelY 910 -0.75778651 0.34282783 -43.417969 19.642588
    Oben rechts KachelX + 1 778 KachelY 910 -0.75471855 0.34282783 -43.242188 19.642588
    Unten links KachelX 777 KachelY + 1 911 -0.75778651 0.33993691 -43.417969 19.476950
    Unten rechts KachelX + 1 778 KachelY + 1 911 -0.75471855 0.33993691 -43.242188 19.476950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34282783-0.33993691) × R
    0.00289092000000002 × 6371000     		dl = 18418.0513200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34282783-0.33993691) × R
    0.00289092000000002 × 6371000     		dr = 18418.0513200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75471855) × cos(0.34282783) × R
    0.00306795999999998 × 0.941807852557362 × 6371000     		do = 18408.5510079633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75471855) × cos(0.33993691) × R
    0.00306795999999998 × 0.94277570335273 × 6371000     		du = 18427.4685936325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34282783)-sin(0.33993691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941807852557362-0.94277570335273)×R²
    abs(-0.75471855--0.75778651)×0.000967850795367653×R²
    0.00306795999999998×0.000967850795367653×6371000²
    0.00306795999999998×0.000967850795367653×40589641000000     		ar = 339224085.976534m²