Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77699 / 83587
↖ ↑ ↗
← S 44.345458°
E 33.406677°		 ← 218.42 m → S 44.345458°
E 33.409424°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 44.347422°
E 33.406677°		 ← 218.41 m →
47 702 m²		 S 44.347422°
E 33.409424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592800140380859 y=0.637722015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592800140380859 × 217)
    floor (0.592800140380859 × 131072)
    floor (77699.5)     		tx = 77699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637722015380859 × 217)
    floor (0.637722015380859 × 131072)
    floor (83587.5)     		ty = 83587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77699 / 83587 ti = "17/77699/83587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77699/83587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77699 ÷ 217
    77699 ÷ 131072     		x = 0.592796325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83587 ÷ 217
    83587 ÷ 131072     		y = 0.637718200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592796325683594 × 2 - 1) × π
    0.185592651367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58305651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637718200683594 × 2 - 1) × π
    -0.275436401367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.865308975041634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58305651} λ = 0.58305651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865308975041634))-π/2
    2×atan(0.420921478302213)-π/2
    2×0.398411037304858-π/2
    0.796822074609715-1.57079632675     		φ = -0.77397425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58305651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.406677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77397425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.345458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77699 KachelY 83587 0.58305651 -0.77397425 33.406677 -44.345458
    Oben rechts KachelX + 1 77700 KachelY 83587 0.58310445 -0.77397425 33.409424 -44.345458
    Unten links KachelX 77699 KachelY + 1 83588 0.58305651 -0.77400853 33.406677 -44.347422
    Unten rechts KachelX + 1 77700 KachelY + 1 83588 0.58310445 -0.77400853 33.409424 -44.347422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77397425--0.77400853) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dl = 218.397880000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77397425--0.77400853) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dr = 218.397880000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58305651-0.58310445) × cos(-0.77397425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715138391850677 × 6371000     		do = 218.42167253326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58305651-0.58310445) × cos(-0.77400853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715114430297027 × 6371000     		du = 218.414354058005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77397425)-sin(-0.77400853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715138391850677-0.715114430297027)×R²
    abs(0.58310445-0.58305651)×2.39615536503646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39615536503646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39615536503646e-05×40589641000000     		ar = 47702.0310623083m²