Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77699 / 57291
↖ ↑ ↗
← N 22.078004°
E 33.406677°		 ← 283.03 m → N 22.078004°
E 33.409424°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
N 22.075459°
E 33.406677°		 ← 283.03 m →
80 098 m²		 N 22.075459°
E 33.409424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592800140380859 y=0.437099456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592800140380859 × 217)
    floor (0.592800140380859 × 131072)
    floor (77699.5)     		tx = 77699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437099456787109 × 217)
    floor (0.437099456787109 × 131072)
    floor (57291.5)     		ty = 57291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77699 / 57291 ti = "17/77699/57291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77699/57291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77699 ÷ 217
    77699 ÷ 131072     		x = 0.592796325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57291 ÷ 217
    57291 ÷ 131072     		y = 0.437095642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592796325683594 × 2 - 1) × π
    0.185592651367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58305651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437095642089844 × 2 - 1) × π
    0.125808715820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.395239737367363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58305651} λ = 0.58305651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395239737367363))-π/2
    2×atan(1.48474009593916)-π/2
    2×0.978065099294748-π/2
    1.9561301985895-1.57079632675     		φ = 0.38533387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58305651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.406677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38533387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.078004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77699 KachelY 57291 0.58305651 0.38533387 33.406677 22.078004
    Oben rechts KachelX + 1 77700 KachelY 57291 0.58310445 0.38533387 33.409424 22.078004
    Unten links KachelX 77699 KachelY + 1 57292 0.58305651 0.38528945 33.406677 22.075459
    Unten rechts KachelX + 1 77700 KachelY + 1 57292 0.58310445 0.38528945 33.409424 22.075459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38533387-0.38528945) × R
    4.4420000000045e-05 × 6371000     		dl = 282.999820000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38533387-0.38528945) × R
    4.4420000000045e-05 × 6371000     		dr = 282.999820000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58305651-0.58310445) × cos(0.38533387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9266729930918 × 6371000     		do = 283.029784652892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58305651-0.58310445) × cos(0.38528945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926689688258381 × 6371000     		du = 283.0348837865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38533387)-sin(0.38528945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9266729930918-0.926689688258381)×R²
    abs(0.58310445-0.58305651)×1.66951665818704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66951665818704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66951665818704e-05×40589641000000     		ar = 80098.099651542m²