Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77696 / 83591
↖ ↑ ↗
← S 44.353314°
E 33.398438°		 ← 218.39 m → S 44.353314°
E 33.401184°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 44.355278°
E 33.398438°		 ← 218.39 m →
47 696 m²		 S 44.355278°
E 33.401184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592777252197266 y=0.637752532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592777252197266 × 217)
    floor (0.592777252197266 × 131072)
    floor (77696.5)     		tx = 77696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637752532958984 × 217)
    floor (0.637752532958984 × 131072)
    floor (83591.5)     		ty = 83591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77696 / 83591 ti = "17/77696/83591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77696/83591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77696 ÷ 217
    77696 ÷ 131072     		x = 0.5927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83591 ÷ 217
    83591 ÷ 131072     		y = 0.637748718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637748718261719 × 2 - 1) × π
    -0.275497436523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.865500722640114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58291270} λ = 0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865500722640114))-π/2
    2×atan(0.420840775357145)-π/2
    2×0.398342478865098-π/2
    0.796684957730195-1.57079632675     		φ = -0.77411137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77411137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.353314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77696 KachelY 83591 0.58291270 -0.77411137 33.398438 -44.353314
    Oben rechts KachelX + 1 77697 KachelY 83591 0.58296064 -0.77411137 33.401184 -44.353314
    Unten links KachelX 77696 KachelY + 1 83592 0.58291270 -0.77414565 33.398438 -44.355278
    Unten rechts KachelX + 1 77697 KachelY + 1 83592 0.58296064 -0.77414565 33.401184 -44.355278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77411137--0.77414565) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dl = 218.397880000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77411137--0.77414565) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dr = 218.397880000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58291270-0.58296064) × cos(-0.77411137) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.715042540594124 × 6371000     		do = 218.392397092803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58291270-0.58296064) × cos(-0.77414565) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.715018575679266 × 6371000     		du = 218.385077590948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77411137)-sin(-0.77414565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715042540594124-0.715018575679266)×R²
    abs(0.58296064-0.58291270)×2.39649148580101e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39649148580101e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39649148580101e-05×40589641000000     		ar = 47695.6372560213m²