Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77695 / 58156
↖ ↑ ↗
← N 19.859727°
E 33.395691°		 ← 287.26 m → N 19.859727°
E 33.398438°		 →
↑
287.27 m
↓
↑
287.27 m
↓
N 19.857144°
E 33.395691°		 ← 287.27 m →
82 522 m²		 N 19.857144°
E 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592769622802734 y=0.443698883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592769622802734 × 217)
    floor (0.592769622802734 × 131072)
    floor (77695.5)     		tx = 77695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443698883056641 × 217)
    floor (0.443698883056641 × 131072)
    floor (58156.5)     		ty = 58156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77695 / 58156 ti = "17/77695/58156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77695/58156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77695 ÷ 217
    77695 ÷ 131072     		x = 0.592765808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58156 ÷ 217
    58156 ÷ 131072     		y = 0.443695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592765808105469 × 2 - 1) × π
    0.185531616210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58286476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    0.11260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.353774319196014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58286476} λ = 0.58286476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353774319196014))-π/2
    2×atan(1.42443368286388)-π/2
    2×0.958706977789823-π/2
    1.91741395557965-1.57079632675     		φ = 0.34661763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58286476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.395691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34661763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.859727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77695 KachelY 58156 0.58286476 0.34661763 33.395691 19.859727
    Oben rechts KachelX + 1 77696 KachelY 58156 0.58291270 0.34661763 33.398438 19.859727
    Unten links KachelX 77695 KachelY + 1 58157 0.58286476 0.34657254 33.395691 19.857144
    Unten rechts KachelX + 1 77696 KachelY + 1 58157 0.58291270 0.34657254 33.398438 19.857144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34661763-0.34657254) × R
    4.50900000000254e-05 × 6371000     		dl = 287.268390000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34661763-0.34657254) × R
    4.50900000000254e-05 × 6371000     		dr = 287.268390000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58286476-0.58291270) × cos(0.34661763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94052714448567 × 6371000     		do = 287.261199094434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58286476-0.58291270) × cos(0.34657254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940542461438807 × 6371000     		du = 287.265877286181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34661763)-sin(0.34657254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94052714448567-0.940542461438807)×R²
    abs(0.58291270-0.58286476)×1.53169531366126e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53169531366126e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53169531366126e-05×40589641000000     		ar = 82521.7341356016m²