Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77693 / 59023
↖ ↑ ↗
← N 17.604757°
E 33.390198°		 ← 291.12 m → N 17.604757°
E 33.392945°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.602139°
E 33.390198°		 ← 291.13 m →
84 762 m²		 N 17.602139°
E 33.392945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592754364013672 y=0.450313568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592754364013672 × 217)
    floor (0.592754364013672 × 131072)
    floor (77693.5)     		tx = 77693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450313568115234 × 217)
    floor (0.450313568115234 × 131072)
    floor (59023.5)     		ty = 59023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77693 / 59023 ti = "17/77693/59023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77693/59023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77693 ÷ 217
    77693 ÷ 131072     		x = 0.592750549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59023 ÷ 217
    59023 ÷ 131072     		y = 0.450309753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592750549316406 × 2 - 1) × π
    0.185501098632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58276889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450309753417969 × 2 - 1) × π
    0.0993804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.312213027225426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58276889} λ = 0.58276889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312213027225426))-π/2
    2×atan(1.3664457521739)-π/2
    2×0.939028651007972-π/2
    1.87805730201594-1.57079632675     		φ = 0.30726098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58276889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.390198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30726098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.604757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77693 KachelY 59023 0.58276889 0.30726098 33.390198 17.604757
    Oben rechts KachelX + 1 77694 KachelY 59023 0.58281683 0.30726098 33.392945 17.604757
    Unten links KachelX 77693 KachelY + 1 59024 0.58276889 0.30721528 33.390198 17.602139
    Unten rechts KachelX + 1 77694 KachelY + 1 59024 0.58281683 0.30721528 33.392945 17.602139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30726098-0.30721528) × R
    4.57000000000374e-05 × 6371000     		dl = 291.154700000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30726098-0.30721528) × R
    4.57000000000374e-05 × 6371000     		dr = 291.154700000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58276889-0.58281683) × cos(0.30726098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95316555823657 × 6371000     		do = 291.121295966727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58276889-0.58281683) × cos(0.30721528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953179379162112 × 6371000     		du = 291.125517233138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30726098)-sin(0.30721528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95316555823657-0.953179379162112)×R²
    abs(0.58281683-0.58276889)×1.38209255425847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38209255425847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38209255425847e-05×40589641000000     		ar = 84761.9481264507m²