Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77693 / 58957
↖ ↑ ↗
← N 17.777459°
E 33.390198°		 ← 290.84 m → N 17.777459°
E 33.392945°		 →
↑
290.84 m
↓
↑
290.84 m
↓
N 17.774843°
E 33.390198°		 ← 290.85 m →
84 588 m²		 N 17.774843°
E 33.392945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592754364013672 y=0.449810028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592754364013672 × 217)
    floor (0.592754364013672 × 131072)
    floor (77693.5)     		tx = 77693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449810028076172 × 217)
    floor (0.449810028076172 × 131072)
    floor (58957.5)     		ty = 58957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77693 / 58957 ti = "17/77693/58957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77693/58957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77693 ÷ 217
    77693 ÷ 131072     		x = 0.592750549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58957 ÷ 217
    58957 ÷ 131072     		y = 0.449806213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592750549316406 × 2 - 1) × π
    0.185501098632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58276889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449806213378906 × 2 - 1) × π
    0.100387573242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.315376862600349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58276889} λ = 0.58276889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315376862600349))-π/2
    2×atan(1.37077580776213)-π/2
    2×0.940535756993081-π/2
    1.88107151398616-1.57079632675     		φ = 0.31027519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58276889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.390198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31027519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.777459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77693 KachelY 58957 0.58276889 0.31027519 33.390198 17.777459
    Oben rechts KachelX + 1 77694 KachelY 58957 0.58281683 0.31027519 33.392945 17.777459
    Unten links KachelX 77693 KachelY + 1 58958 0.58276889 0.31022954 33.390198 17.774843
    Unten rechts KachelX + 1 77694 KachelY + 1 58958 0.58281683 0.31022954 33.392945 17.774843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31027519-0.31022954) × R
    4.56499999999527e-05 × 6371000     		dl = 290.836149999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31027519-0.31022954) × R
    4.56499999999527e-05 × 6371000     		dr = 290.836149999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58276889-0.58281683) × cos(0.31027519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952249584740721 × 6371000     		do = 290.841534083937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58276889-0.58281683) × cos(0.31022954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952263521638352 × 6371000     		du = 290.845790771209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31027519)-sin(0.31022954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952249584740721-0.952263521638352)×R²
    abs(0.58281683-0.58276889)×1.39368976317389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39368976317389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39368976317389e-05×40589641000000     		ar = 84587.8510469101m²