Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77692 / 83628
↖ ↑ ↗
← S 44.425934°
E 33.387451°		 ← 218.12 m → S 44.425934°
E 33.390198°		 →
↑
218.08 m
↓
↑
218.08 m
↓
S 44.427896°
E 33.387451°		 ← 218.11 m →
47 567 m²		 S 44.427896°
E 33.390198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592746734619141 y=0.638034820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592746734619141 × 217)
    floor (0.592746734619141 × 131072)
    floor (77692.5)     		tx = 77692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638034820556641 × 217)
    floor (0.638034820556641 × 131072)
    floor (83628.5)     		ty = 83628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77692 / 83628 ti = "17/77692/83628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77692/83628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77692 ÷ 217
    77692 ÷ 131072     		x = 0.592742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83628 ÷ 217
    83628 ÷ 131072     		y = 0.638031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592742919921875 × 2 - 1) × π
    0.18548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58272095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.27606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.867274387926056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58272095} λ = 0.58272095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867274387926056))-π/2
    2×atan(0.420095006250882)-π/2
    2×0.39770874894158-π/2
    0.79541749788316-1.57079632675     		φ = -0.77537883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58272095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77537883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.425934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77692 KachelY 83628 0.58272095 -0.77537883 33.387451 -44.425934
    Oben rechts KachelX + 1 77693 KachelY 83628 0.58276889 -0.77537883 33.390198 -44.425934
    Unten links KachelX 77692 KachelY + 1 83629 0.58272095 -0.77541306 33.387451 -44.427896
    Unten rechts KachelX + 1 77693 KachelY + 1 83629 0.58276889 -0.77541306 33.390198 -44.427896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77537883--0.77541306) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dl = 218.079330000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77537883--0.77541306) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dr = 218.079330000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58272095-0.58276889) × cos(-0.77537883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714155909357393 × 6371000     		do = 218.121597090712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58272095-0.58276889) × cos(-0.77541306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714131948395323 × 6371000     		du = 218.11427879614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77537883)-sin(-0.77541306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714155909357393-0.714131948395323)×R²
    abs(0.58276889-0.58272095)×2.39609620694692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39609620694692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39609620694692e-05×40589641000000     		ar = 47567.0137724131m²