Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77692 / 57115
↖ ↑ ↗
← N 22.525243°
E 33.387451°		 ← 282.13 m → N 22.525243°
E 33.390198°		 →
↑
282.11 m
↓
↑
282.11 m
↓
N 22.522706°
E 33.387451°		 ← 282.13 m →
79 590 m²		 N 22.522706°
E 33.390198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592746734619141 y=0.435756683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592746734619141 × 217)
    floor (0.592746734619141 × 131072)
    floor (77692.5)     		tx = 77692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435756683349609 × 217)
    floor (0.435756683349609 × 131072)
    floor (57115.5)     		ty = 57115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77692 / 57115 ti = "17/77692/57115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77692/57115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77692 ÷ 217
    77692 ÷ 131072     		x = 0.592742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57115 ÷ 217
    57115 ÷ 131072     		y = 0.435752868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592742919921875 × 2 - 1) × π
    0.18548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58272095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435752868652344 × 2 - 1) × π
    0.128494262695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.403676631700493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58272095} λ = 0.58272095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403676631700493))-π/2
    2×atan(1.49731968294485)-π/2
    2×0.98196798900415-π/2
    1.9639359780083-1.57079632675     		φ = 0.39313965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58272095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39313965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.525243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77692 KachelY 57115 0.58272095 0.39313965 33.387451 22.525243
    Oben rechts KachelX + 1 77693 KachelY 57115 0.58276889 0.39313965 33.390198 22.525243
    Unten links KachelX 77692 KachelY + 1 57116 0.58272095 0.39309537 33.387451 22.522706
    Unten rechts KachelX + 1 77693 KachelY + 1 57116 0.58276889 0.39309537 33.390198 22.522706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39313965-0.39309537) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dl = 282.107880000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39313965-0.39309537) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dr = 282.107880000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58272095-0.58276889) × cos(0.39313965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923710844664313 × 6371000     		do = 282.125068277438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58272095-0.58276889) × cos(0.39309537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923727807002857 × 6371000     		du = 282.13024901224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39313965)-sin(0.39309537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923710844664313-0.923727807002857)×R²
    abs(0.58276889-0.58272095)×1.6962338544535e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6962338544535e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6962338544535e-05×40589641000000     		ar = 79590.4356826247m²