Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77690 / 57334
↖ ↑ ↗
← N 21.968519°
E 33.381958°		 ← 283.19 m → N 21.968519°
E 33.384704°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.965972°
E 33.381958°		 ← 283.19 m →
80 197 m²		 N 21.965972°
E 33.384704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592731475830078 y=0.437427520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592731475830078 × 217)
    floor (0.592731475830078 × 131072)
    floor (77690.5)     		tx = 77690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437427520751953 × 217)
    floor (0.437427520751953 × 131072)
    floor (57334.5)     		ty = 57334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77690 / 57334 ti = "17/77690/57334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77690/57334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77690 ÷ 217
    77690 ÷ 131072     		x = 0.592727661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57334 ÷ 217
    57334 ÷ 131072     		y = 0.437423706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592727661132812 × 2 - 1) × π
    0.185455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58262508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437423706054688 × 2 - 1) × π
    0.125152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.393178450683701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58262508} λ = 0.58262508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393178450683701))-π/2
    2×atan(1.48168277304271)-π/2
    2×0.977109660449942-π/2
    1.95421932089988-1.57079632675     		φ = 0.38342299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58262508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.381958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38342299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.968519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77690 KachelY 57334 0.58262508 0.38342299 33.381958 21.968519
    Oben rechts KachelX + 1 77691 KachelY 57334 0.58267301 0.38342299 33.384704 21.968519
    Unten links KachelX 77690 KachelY + 1 57335 0.58262508 0.38337854 33.381958 21.965972
    Unten rechts KachelX + 1 77691 KachelY + 1 57335 0.58267301 0.38337854 33.384704 21.965972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38342299-0.38337854) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dl = 283.190950000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38342299-0.38337854) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dr = 283.190950000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58262508-0.58267301) × cos(0.38342299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927389540486612 × 6371000     		do = 283.189552683932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58262508-0.58267301) × cos(0.38337854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927406168186531 × 6371000     		du = 283.194630152134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38342299)-sin(0.38337854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927389540486612-0.927406168186531)×R²
    abs(0.58267301-0.58262508)×1.66276999183923e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66276999183923e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66276999183923e-05×40589641000000     		ar = 80197.437414344m²