Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77689 / 59081
↖ ↑ ↗
← N 17.452853°
E 33.379211°		 ← 291.37 m → N 17.452853°
E 33.381958°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 17.450232°
E 33.379211°		 ← 291.37 m →
84 889 m²		 N 17.450232°
E 33.381958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592723846435547 y=0.450756072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592723846435547 × 217)
    floor (0.592723846435547 × 131072)
    floor (77689.5)     		tx = 77689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450756072998047 × 217)
    floor (0.450756072998047 × 131072)
    floor (59081.5)     		ty = 59081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77689 / 59081 ti = "17/77689/59081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77689/59081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77689 ÷ 217
    77689 ÷ 131072     		x = 0.592720031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59081 ÷ 217
    59081 ÷ 131072     		y = 0.450752258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592720031738281 × 2 - 1) × π
    0.185440063476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58257714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450752258300781 × 2 - 1) × π
    0.0984954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.309432687047462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58257714} λ = 0.58257714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309432687047462))-π/2
    2×atan(1.36265184476872)-π/2
    2×0.937703033023669-π/2
    1.87540606604734-1.57079632675     		φ = 0.30460974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58257714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.379211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30460974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.452853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77689 KachelY 59081 0.58257714 0.30460974 33.379211 17.452853
    Oben rechts KachelX + 1 77690 KachelY 59081 0.58262508 0.30460974 33.381958 17.452853
    Unten links KachelX 77689 KachelY + 1 59082 0.58257714 0.30456401 33.379211 17.450232
    Unten rechts KachelX + 1 77690 KachelY + 1 59082 0.58262508 0.30456401 33.381958 17.450232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30460974-0.30456401) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dl = 291.345830000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30460974-0.30456401) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dr = 291.345830000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58257714-0.58262508) × cos(0.30460974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953964072342497 × 6371000     		do = 291.36518272843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58257714-0.58262508) × cos(0.30456401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953977786727954 × 6371000     		du = 291.369371454756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30460974)-sin(0.30456401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953964072342497-0.953977786727954)×R²
    abs(0.58262508-0.58257714)×1.37143854564981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37143854564981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37143854564981e-05×40589641000000     		ar = 84888.6411939542m²