Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77688 / 59076
↖ ↑ ↗
← N 17.465953°
E 33.376465°		 ← 291.34 m → N 17.465953°
E 33.379211°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 17.463332°
E 33.376465°		 ← 291.35 m →
84 883 m²		 N 17.463332°
E 33.379211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592716217041016 y=0.450717926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592716217041016 × 217)
    floor (0.592716217041016 × 131072)
    floor (77688.5)     		tx = 77688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450717926025391 × 217)
    floor (0.450717926025391 × 131072)
    floor (59076.5)     		ty = 59076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77688 / 59076 ti = "17/77688/59076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77688/59076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77688 ÷ 217
    77688 ÷ 131072     		x = 0.59271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59076 ÷ 217
    59076 ÷ 131072     		y = 0.450714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59271240234375 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450714111328125 × 2 - 1) × π
    0.09857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.309672371545563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58252920} λ = 0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309672371545563))-π/2
    2×atan(1.3629784904366)-π/2
    2×0.937817354113527-π/2
    1.87563470822705-1.57079632675     		φ = 0.30483838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30483838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.465953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77688 KachelY 59076 0.58252920 0.30483838 33.376465 17.465953
    Oben rechts KachelX + 1 77689 KachelY 59076 0.58257714 0.30483838 33.379211 17.465953
    Unten links KachelX 77688 KachelY + 1 59077 0.58252920 0.30479265 33.376465 17.463332
    Unten rechts KachelX + 1 77689 KachelY + 1 59077 0.58257714 0.30479265 33.379211 17.463332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30483838-0.30479265) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dl = 291.345830000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30483838-0.30479265) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dr = 291.345830000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58252920-0.58257714) × cos(0.30483838) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953895473492763 × 6371000     		do = 291.344230874661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58252920-0.58257714) × cos(0.30479265) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953909197852302 × 6371000     		du = 291.348422647329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30483838)-sin(0.30479265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953895473492763-0.953909197852302)×R²
    abs(0.58257714-0.58252920)×1.37243595385028e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.37243595385028e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.37243595385028e-05×40589641000000     		ar = 84882.5374024265m²