Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77688 / 58135
↖ ↑ ↗
← N 19.913966°
E 33.376465°		 ← 287.16 m → N 19.913966°
E 33.379211°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.911383°
E 33.376465°		 ← 287.17 m →
82 457 m²		 N 19.911383°
E 33.379211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592716217041016 y=0.443538665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592716217041016 × 217)
    floor (0.592716217041016 × 131072)
    floor (77688.5)     		tx = 77688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443538665771484 × 217)
    floor (0.443538665771484 × 131072)
    floor (58135.5)     		ty = 58135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77688 / 58135 ti = "17/77688/58135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77688/58135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77688 ÷ 217
    77688 ÷ 131072     		x = 0.59271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58135 ÷ 217
    58135 ÷ 131072     		y = 0.443534851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59271240234375 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443534851074219 × 2 - 1) × π
    0.112930297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.354780994088036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58252920} λ = 0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354780994088036))-π/2
    2×atan(1.42586834648654)-π/2
    2×0.959180299310818-π/2
    1.91836059862164-1.57079632675     		φ = 0.34756427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34756427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.913966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77688 KachelY 58135 0.58252920 0.34756427 33.376465 19.913966
    Oben rechts KachelX + 1 77689 KachelY 58135 0.58257714 0.34756427 33.379211 19.913966
    Unten links KachelX 77688 KachelY + 1 58136 0.58252920 0.34751920 33.376465 19.911383
    Unten rechts KachelX + 1 77689 KachelY + 1 58136 0.58257714 0.34751920 33.379211 19.911383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34756427-0.34751920) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dl = 287.140970000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34756427-0.34751920) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dr = 287.140970000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58252920-0.58257714) × cos(0.34756427) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940205131953342 × 6371000     		do = 287.162848179124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58252920-0.58257714) × cos(0.34751920) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940220482234068 × 6371000     		du = 287.167536549974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34756427)-sin(0.34751920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940205131953342-0.940220482234068)×R²
    abs(0.58257714-0.58252920)×1.53502807259676e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.53502807259676e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.53502807259676e-05×40589641000000     		ar = 82456.8918998288m²