Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77687 / 83700
↖ ↑ ↗
← S 44.566991°
E 33.373718°		 ← 217.55 m → S 44.566991°
E 33.376465°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.568948°
E 33.373718°		 ← 217.54 m →
47 331 m²		 S 44.568948°
E 33.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592708587646484 y=0.638584136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592708587646484 × 217)
    floor (0.592708587646484 × 131072)
    floor (77687.5)     		tx = 77687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638584136962891 × 217)
    floor (0.638584136962891 × 131072)
    floor (83700.5)     		ty = 83700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77687 / 83700 ti = "17/77687/83700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77687/83700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77687 ÷ 217
    77687 ÷ 131072     		x = 0.592704772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83700 ÷ 217
    83700 ÷ 131072     		y = 0.638580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592704772949219 × 2 - 1) × π
    0.185409545898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58248127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.27716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.8707258446987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58248127} λ = 0.58248127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8707258446987))-π/2
    2×atan(0.41864756582233)-π/2
    2×0.396477798631492-π/2
    0.792955597262985-1.57079632675     		φ = -0.77784073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58248127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.373718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77784073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.566991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77687 KachelY 83700 0.58248127 -0.77784073 33.373718 -44.566991
    Oben rechts KachelX + 1 77688 KachelY 83700 0.58252920 -0.77784073 33.376465 -44.566991
    Unten links KachelX 77687 KachelY + 1 83701 0.58248127 -0.77787488 33.373718 -44.568948
    Unten rechts KachelX + 1 77688 KachelY + 1 83701 0.58252920 -0.77787488 33.376465 -44.568948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77784073--0.77787488) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77784073--0.77787488) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58248127-0.58252920) × cos(-0.77784073) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.712430449686054 × 6371000     		do = 217.549208349576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58248127-0.58252920) × cos(-0.77787488) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.712406484756518 × 6371000     		du = 217.541890370044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77784073)-sin(-0.77787488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712430449686054-0.712406484756518)×R²
    abs(0.58252920-0.58248127)×2.39649295354916e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39649295354916e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39649295354916e-05×40589641000000     		ar = 47331.3090378702m²