Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77685 / 57206
↖ ↑ ↗
← N 22.294179°
E 33.368225°		 ← 282.59 m → N 22.294179°
E 33.370972°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
N 22.291637°
E 33.368225°		 ← 282.60 m →
79 867 m²		 N 22.291637°
E 33.370972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592693328857422 y=0.436450958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592693328857422 × 217)
    floor (0.592693328857422 × 131072)
    floor (77685.5)     		tx = 77685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436450958251953 × 217)
    floor (0.436450958251953 × 131072)
    floor (57206.5)     		ty = 57206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77685 / 57206 ti = "17/77685/57206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77685/57206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77685 ÷ 217
    77685 ÷ 131072     		x = 0.592689514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57206 ÷ 217
    57206 ÷ 131072     		y = 0.436447143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592689514160156 × 2 - 1) × π
    0.185379028320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58238539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436447143554688 × 2 - 1) × π
    0.127105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.399314373835068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58238539} λ = 0.58238539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399314373835068))-π/2
    2×atan(1.49080221415585)-π/2
    2×0.979951577632479-π/2
    1.95990315526496-1.57079632675     		φ = 0.38910683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58238539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.368225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38910683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.294179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77685 KachelY 57206 0.58238539 0.38910683 33.368225 22.294179
    Oben rechts KachelX + 1 77686 KachelY 57206 0.58243333 0.38910683 33.370972 22.294179
    Unten links KachelX 77685 KachelY + 1 57207 0.58238539 0.38906247 33.368225 22.291637
    Unten rechts KachelX + 1 77686 KachelY + 1 57207 0.58243333 0.38906247 33.370972 22.291637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38910683-0.38906247) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dl = 282.617560000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38910683-0.38906247) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dr = 282.617560000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58238539-0.58243333) × cos(0.38910683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925248263774598 × 6371000     		do = 282.594635646886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58238539-0.58243333) × cos(0.38906247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925265091369767 × 6371000     		du = 282.599775227593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38910683)-sin(0.38906247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925248263774598-0.925265091369767)×R²
    abs(0.58243333-0.58238539)×1.68275951694108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68275951694108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68275951694108e-05×40589641000000     		ar = 79866.9326765653m²