Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77684 / 83702
↖ ↑ ↗
← S 44.570904°
E 33.365479°		 ← 217.53 m → S 44.570904°
E 33.368225°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.572861°
E 33.365479°		 ← 217.53 m →
47 328 m²		 S 44.572861°
E 33.368225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592685699462891 y=0.638599395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592685699462891 × 217)
    floor (0.592685699462891 × 131072)
    floor (77684.5)     		tx = 77684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638599395751953 × 217)
    floor (0.638599395751953 × 131072)
    floor (83702.5)     		ty = 83702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77684 / 83702 ti = "17/77684/83702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77684/83702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77684 ÷ 217
    77684 ÷ 131072     		x = 0.592681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83702 ÷ 217
    83702 ÷ 131072     		y = 0.638595581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592681884765625 × 2 - 1) × π
    0.18536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58233746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638595581054688 × 2 - 1) × π
    -0.277191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.87082171849794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58233746} λ = 0.58233746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87082171849794))-π/2
    2×atan(0.41860743041365)-π/2
    2×0.396443648073366-π/2
    0.792887296146733-1.57079632675     		φ = -0.77790903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58233746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.365479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77790903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.570904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77684 KachelY 83702 0.58233746 -0.77790903 33.365479 -44.570904
    Oben rechts KachelX + 1 77685 KachelY 83702 0.58238539 -0.77790903 33.368225 -44.570904
    Unten links KachelX 77684 KachelY + 1 83703 0.58233746 -0.77794318 33.365479 -44.572861
    Unten rechts KachelX + 1 77685 KachelY + 1 83703 0.58238539 -0.77794318 33.368225 -44.572861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77790903--0.77794318) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77790903--0.77794318) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58233746-0.58238539) × cos(-0.77790903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.712382518996158 × 6371000     		do = 217.534572137314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58233746-0.58238539) × cos(-0.77794318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.712358552405002 × 6371000     		du = 217.527253650386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77790903)-sin(-0.77794318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712382518996158-0.712358552405002)×R²
    abs(0.58238539-0.58233746)×2.39665911564435e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39665911564435e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39665911564435e-05×40589641000000     		ar = 47328.1245871095m²