Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77684 / 57284
↖ ↑ ↗
← N 22.095820°
E 33.365479°		 ← 282.94 m → N 22.095820°
E 33.368225°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
N 22.093275°
E 33.365479°		 ← 282.94 m →
80 071 m²		 N 22.093275°
E 33.368225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592685699462891 y=0.437046051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592685699462891 × 217)
    floor (0.592685699462891 × 131072)
    floor (77684.5)     		tx = 77684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437046051025391 × 217)
    floor (0.437046051025391 × 131072)
    floor (57284.5)     		ty = 57284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77684 / 57284 ti = "17/77684/57284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77684/57284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77684 ÷ 217
    77684 ÷ 131072     		x = 0.592681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57284 ÷ 217
    57284 ÷ 131072     		y = 0.437042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592681884765625 × 2 - 1) × π
    0.18536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58233746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437042236328125 × 2 - 1) × π
    0.12591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.395575295664703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58233746} λ = 0.58233746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395575295664703))-π/2
    2×atan(1.4852383963975)-π/2
    2×0.978220565893625-π/2
    1.95644113178725-1.57079632675     		φ = 0.38564481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58233746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.365479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38564481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.095820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77684 KachelY 57284 0.58233746 0.38564481 33.365479 22.095820
    Oben rechts KachelX + 1 77685 KachelY 57284 0.58238539 0.38564481 33.368225 22.095820
    Unten links KachelX 77684 KachelY + 1 57285 0.58233746 0.38560039 33.365479 22.093275
    Unten rechts KachelX + 1 77685 KachelY + 1 57285 0.58238539 0.38560039 33.368225 22.093275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38564481-0.38560039) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38564481-0.38560039) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58233746-0.58238539) × cos(0.38564481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92655607573091 × 6371000     		do = 282.935044194198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58233746-0.58238539) × cos(0.38560039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926572783695965 × 6371000     		du = 282.940146172324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38564481)-sin(0.38560039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92655607573091-0.926572783695965)×R²
    abs(0.58238539-0.58233746)×1.67079650553736e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67079650553736e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67079650553736e-05×40589641000000     		ar = 80071.2885212403m²