Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77683 / 57332
↖ ↑ ↗
← N 21.973613°
E 33.362732°		 ← 283.24 m → N 21.973613°
E 33.365479°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.971066°
E 33.362732°		 ← 283.24 m →
80 211 m²		 N 21.971066°
E 33.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592678070068359 y=0.437412261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592678070068359 × 217)
    floor (0.592678070068359 × 131072)
    floor (77683.5)     		tx = 77683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437412261962891 × 217)
    floor (0.437412261962891 × 131072)
    floor (57332.5)     		ty = 57332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77683 / 57332 ti = "17/77683/57332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77683/57332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77683 ÷ 217
    77683 ÷ 131072     		x = 0.592674255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57332 ÷ 217
    57332 ÷ 131072     		y = 0.437408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592674255371094 × 2 - 1) × π
    0.185348510742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58228952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437408447265625 × 2 - 1) × π
    0.12518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.393274324482941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58228952} λ = 0.58228952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393274324482941))-π/2
    2×atan(1.48182483440931)-π/2
    2×0.977154115831895-π/2
    1.95430823166379-1.57079632675     		φ = 0.38351190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58228952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.362732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38351190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.973613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77683 KachelY 57332 0.58228952 0.38351190 33.362732 21.973613
    Oben rechts KachelX + 1 77684 KachelY 57332 0.58233746 0.38351190 33.365479 21.973613
    Unten links KachelX 77683 KachelY + 1 57333 0.58228952 0.38346745 33.362732 21.971066
    Unten rechts KachelX + 1 77684 KachelY + 1 57333 0.58233746 0.38346745 33.365479 21.971066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38351190-0.38346745) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dl = 283.190950000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38351190-0.38346745) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dr = 283.190950000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58228952-0.58233746) × cos(0.38351190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927356275847997 × 6371000     		do = 283.238476794333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58228952-0.58233746) × cos(0.38346745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927372907212972 × 6371000     		du = 283.243556441288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38351190)-sin(0.38346745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927356275847997-0.927372907212972)×R²
    abs(0.58233746-0.58228952)×1.66313649747618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66313649747618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66313649747618e-05×40589641000000     		ar = 80211.2925882373m²