Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77681 / 83691
↖ ↑ ↗
← S 44.549378°
E 33.357239°		 ← 217.62 m → S 44.549378°
E 33.359985°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
S 44.551335°
E 33.357239°		 ← 217.61 m →
47 360 m²		 S 44.551335°
E 33.359985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592662811279297 y=0.638515472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592662811279297 × 217)
    floor (0.592662811279297 × 131072)
    floor (77681.5)     		tx = 77681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638515472412109 × 217)
    floor (0.638515472412109 × 131072)
    floor (83691.5)     		ty = 83691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77681 / 83691 ti = "17/77681/83691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77681/83691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77681 ÷ 217
    77681 ÷ 131072     		x = 0.592658996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83691 ÷ 217
    83691 ÷ 131072     		y = 0.638511657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592658996582031 × 2 - 1) × π
    0.185317993164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58219365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638511657714844 × 2 - 1) × π
    -0.277023315429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.870294412602119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58219365} λ = 0.58219365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870294412602119))-π/2
    2×atan(0.418828222787186)-π/2
    2×0.396631504576827-π/2
    0.793263009153655-1.57079632675     		φ = -0.77753332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58219365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.357239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77753332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.549378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77681 KachelY 83691 0.58219365 -0.77753332 33.357239 -44.549378
    Oben rechts KachelX + 1 77682 KachelY 83691 0.58224158 -0.77753332 33.359985 -44.549378
    Unten links KachelX 77681 KachelY + 1 83692 0.58219365 -0.77756748 33.357239 -44.551335
    Unten rechts KachelX + 1 77682 KachelY + 1 83692 0.58224158 -0.77756748 33.359985 -44.551335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77753332--0.77756748) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77753332--0.77756748) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58219365-0.58224158) × cos(-0.77753332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.712646138751584 × 6371000     		do = 217.615071600978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58219365-0.58224158) × cos(-0.77756748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.712622174286706 × 6371000     		du = 217.607753763335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77753332)-sin(-0.77756748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712646138751584-0.712622174286706)×R²
    abs(0.58224158-0.58219365)×2.39644648778459e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39644648778459e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39644648778459e-05×40589641000000     		ar = 47359.5029211085m²