Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77681 / 57362
↖ ↑ ↗
← N 21.897181°
E 33.357239°		 ← 283.33 m → N 21.897181°
E 33.359985°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
N 21.894633°
E 33.357239°		 ← 283.34 m →
80 292 m²		 N 21.894633°
E 33.359985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592662811279297 y=0.437641143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592662811279297 × 217)
    floor (0.592662811279297 × 131072)
    floor (77681.5)     		tx = 77681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437641143798828 × 217)
    floor (0.437641143798828 × 131072)
    floor (57362.5)     		ty = 57362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77681 / 57362 ti = "17/77681/57362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77681/57362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77681 ÷ 217
    77681 ÷ 131072     		x = 0.592658996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57362 ÷ 217
    57362 ÷ 131072     		y = 0.437637329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592658996582031 × 2 - 1) × π
    0.185317993164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58219365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437637329101562 × 2 - 1) × π
    0.124725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.391836217494339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58219365} λ = 0.58219365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391836217494339))-π/2
    2×atan(1.47969534334406)-π/2
    2×0.976487117817206-π/2
    1.95297423563441-1.57079632675     		φ = 0.38217791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58219365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.357239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38217791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.897181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77681 KachelY 57362 0.58219365 0.38217791 33.357239 21.897181
    Oben rechts KachelX + 1 77682 KachelY 57362 0.58224158 0.38217791 33.359985 21.897181
    Unten links KachelX 77681 KachelY + 1 57363 0.58219365 0.38213343 33.357239 21.894633
    Unten rechts KachelX + 1 77682 KachelY + 1 57363 0.58224158 0.38213343 33.359985 21.894633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38217791-0.38213343) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dl = 283.382080000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38217791-0.38213343) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dr = 283.382080000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58219365-0.58224158) × cos(0.38217791) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927854602352718 × 6371000     		do = 283.331564919442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58219365-0.58224158) × cos(0.38213343) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927871189901061 × 6371000     		du = 283.336630126877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38217791)-sin(0.38213343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927854602352718-0.927871189901061)×R²
    abs(0.58224158-0.58219365)×1.65875483426614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65875483426614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65875483426614e-05×40589641000000     		ar = 80291.8059042459m²