Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77680 / 58096
↖ ↑ ↗
← N 20.014645°
E 33.354492°		 ← 286.98 m → N 20.014645°
E 33.357239°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 20.012065°
E 33.354492°		 ← 286.98 m →
82 349 m²		 N 20.012065°
E 33.357239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592655181884766 y=0.443241119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592655181884766 × 217)
    floor (0.592655181884766 × 131072)
    floor (77680.5)     		tx = 77680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443241119384766 × 217)
    floor (0.443241119384766 × 131072)
    floor (58096.5)     		ty = 58096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77680 / 58096 ti = "17/77680/58096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77680/58096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77680 ÷ 217
    77680 ÷ 131072     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58096 ÷ 217
    58096 ÷ 131072     		y = 0.4432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    0.113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356650533173218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356650533173218))-π/2
    2×atan(1.42853655647489)-π/2
    2×0.960058894212906-π/2
    1.92011778842581-1.57079632675     		φ = 0.34932146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34932146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.014645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77680 KachelY 58096 0.58214571 0.34932146 33.354492 20.014645
    Oben rechts KachelX + 1 77681 KachelY 58096 0.58219365 0.34932146 33.357239 20.014645
    Unten links KachelX 77680 KachelY + 1 58097 0.58214571 0.34927642 33.354492 20.012065
    Unten rechts KachelX + 1 77681 KachelY + 1 58097 0.58219365 0.34927642 33.357239 20.012065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34932146-0.34927642) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34932146-0.34927642) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58219365) × cos(0.34932146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939605166456441 × 6371000     		do = 286.979603272593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58219365) × cos(0.34927642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939620580908504 × 6371000     		du = 286.984311243021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34932146)-sin(0.34927642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939605166456441-0.939620580908504)×R²
    abs(0.58219365-0.58214571)×1.54144520628785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54144520628785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54144520628785e-05×40589641000000     		ar = 82349.4267319436m²