Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7768 / 9432
↖ ↑ ↗
← S 26.273714°
W  9.316406°		 ← 2 190.81 m → S 26.273714°
W  9.294434°		 →
↑
2 190.60 m
↓
↑
2 190.60 m
↓
S 26.293415°
W  9.316406°		 ← 2 190.43 m →
4 798 781 m²		 S 26.293415°
W  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474151611328125 y=0.575714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474151611328125 × 214)
    floor (0.474151611328125 × 16384)
    floor (7768.5)     		tx = 7768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575714111328125 × 214)
    floor (0.575714111328125 × 16384)
    floor (9432.5)     		ty = 9432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7768 / 9432 ti = "14/7768/9432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7768/9432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7768 ÷ 214
    7768 ÷ 16384     		x = 0.47412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9432 ÷ 214
    9432 ÷ 16384     		y = 0.57568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16260196} λ = -0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475534044230957))-π/2
    2×atan(0.621553031004329)-π/2
    2×0.556116755176891-π/2
    1.11223351035378-1.57079632675     		φ = -0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7768 KachelY 9432 -0.16260196 -0.45856282 -9.316406 -26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 7769 KachelY 9432 -0.16221847 -0.45856282 -9.294434 -26.273714
    Unten links KachelX 7768 KachelY + 1 9433 -0.16260196 -0.45890666 -9.316406 -26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 7769 KachelY + 1 9433 -0.16221847 -0.45890666 -9.294434 -26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45856282--0.45890666) × R
    0.00034384000000004 × 6371000     		dl = 2190.60464000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45856282--0.45890666) × R
    0.00034384000000004 × 6371000     		dr = 2190.60464000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16260196--0.16221847) × cos(-0.45856282) × R
    0.000383489999999986 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 2190.80530559651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16260196--0.16221847) × cos(-0.45890666) × R
    0.000383489999999986 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 2190.43330862855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45856282)-sin(-0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896537348084991)×R²
    abs(-0.16221847--0.16260196)×0.000152257169318548×R²
    0.000383489999999986×0.000152257169318548×6371000²
    0.000383489999999986×0.000152257169318548×40589641000000     		ar = 4798780.86591359m²