Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77679 / 58159
↖ ↑ ↗
← N 19.851977°
E 33.351745°		 ← 287.28 m → N 19.851977°
E 33.354492°		 →
↑
287.27 m
↓
↑
287.27 m
↓
N 19.849394°
E 33.351745°		 ← 287.28 m →
82 526 m²		 N 19.849394°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592647552490234 y=0.443721771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592647552490234 × 217)
    floor (0.592647552490234 × 131072)
    floor (77679.5)     		tx = 77679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443721771240234 × 217)
    floor (0.443721771240234 × 131072)
    floor (58159.5)     		ty = 58159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77679 / 58159 ti = "17/77679/58159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77679/58159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77679 ÷ 217
    77679 ÷ 131072     		x = 0.592643737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58159 ÷ 217
    58159 ÷ 131072     		y = 0.443717956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592643737792969 × 2 - 1) × π
    0.185287475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58209777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443717956542969 × 2 - 1) × π
    0.112564086914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.353630508497154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58209777} λ = 0.58209777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353630508497154))-π/2
    2×atan(1.42422884878949)-π/2
    2×0.958639347204989-π/2
    1.91727869440998-1.57079632675     		φ = 0.34648237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58209777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.351745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34648237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.851977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77679 KachelY 58159 0.58209777 0.34648237 33.351745 19.851977
    Oben rechts KachelX + 1 77680 KachelY 58159 0.58214571 0.34648237 33.354492 19.851977
    Unten links KachelX 77679 KachelY + 1 58160 0.58209777 0.34643728 33.351745 19.849394
    Unten rechts KachelX + 1 77680 KachelY + 1 58160 0.58214571 0.34643728 33.354492 19.849394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34648237-0.34643728) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dl = 287.268389999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34648237-0.34643728) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dr = 287.268389999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58209777-0.58214571) × cos(0.34648237) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940573086212462 × 6371000     		do = 287.275230881002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58209777-0.58214571) × cos(0.34643728) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940588397429256 × 6371000     		du = 287.279907320721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34648237)-sin(0.34643728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940573086212462-0.940588397429256)×R²
    abs(0.58214571-0.58209777)×1.53112167937675e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.53112167937675e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.53112167937675e-05×40589641000000     		ar = 82525.7647726583m²