Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77679 / 57584
↖ ↑ ↗
← N 21.330315°
E 33.351745°		 ← 284.50 m → N 21.330315°
E 33.354492°		 →
↑
284.53 m
↓
↑
284.53 m
↓
N 21.327756°
E 33.351745°		 ← 284.51 m →
80 950 m²		 N 21.327756°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592647552490234 y=0.439334869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592647552490234 × 217)
    floor (0.592647552490234 × 131072)
    floor (77679.5)     		tx = 77679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439334869384766 × 217)
    floor (0.439334869384766 × 131072)
    floor (57584.5)     		ty = 57584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77679 / 57584 ti = "17/77679/57584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77679/57584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77679 ÷ 217
    77679 ÷ 131072     		x = 0.592643737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57584 ÷ 217
    57584 ÷ 131072     		y = 0.4393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592643737792969 × 2 - 1) × π
    0.185287475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58209777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.381194225778687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58209777} λ = 0.58209777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381194225778687))-π/2
    2×atan(1.46403193053893)-π/2
    2×0.971540277651954-π/2
    1.94308055530391-1.57079632675     		φ = 0.37228423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58209777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.351745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37228423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.330315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77679 KachelY 57584 0.58209777 0.37228423 33.351745 21.330315
    Oben rechts KachelX + 1 77680 KachelY 57584 0.58214571 0.37228423 33.354492 21.330315
    Unten links KachelX 77679 KachelY + 1 57585 0.58209777 0.37223957 33.351745 21.327756
    Unten rechts KachelX + 1 77680 KachelY + 1 57585 0.58214571 0.37223957 33.354492 21.327756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37228423-0.37223957) × R
    4.46599999999742e-05 × 6371000     		dl = 284.528859999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37228423-0.37223957) × R
    4.46599999999742e-05 × 6371000     		dr = 284.528859999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58209777-0.58214571) × cos(0.37228423) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.931498901201934 × 6371000     		do = 284.50374120926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58209777-0.58214571) × cos(0.37223957) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.931515145086134 × 6371000     		du = 284.508702509612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37228423)-sin(0.37223957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931498901201934-0.931515145086134)×R²
    abs(0.58214571-0.58209777)×1.62438841997403e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.62438841997403e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.62438841997403e-05×40589641000000     		ar = 80950.2309819186m²