Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77679 / 57262
↖ ↑ ↗
← N 22.151796°
E 33.351745°		 ← 282.88 m → N 22.151796°
E 33.354492°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.149252°
E 33.351745°		 ← 282.89 m →
80 020 m²		 N 22.149252°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592647552490234 y=0.436878204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592647552490234 × 217)
    floor (0.592647552490234 × 131072)
    floor (77679.5)     		tx = 77679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436878204345703 × 217)
    floor (0.436878204345703 × 131072)
    floor (57262.5)     		ty = 57262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77679 / 57262 ti = "17/77679/57262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77679/57262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77679 ÷ 217
    77679 ÷ 131072     		x = 0.592643737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57262 ÷ 217
    57262 ÷ 131072     		y = 0.436874389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592643737792969 × 2 - 1) × π
    0.185287475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58209777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436874389648438 × 2 - 1) × π
    0.126251220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396629907456345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58209777} λ = 0.58209777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396629907456345))-π/2
    2×atan(1.48680557255972)-π/2
    2×0.9787090474019-π/2
    1.9574180948038-1.57079632675     		φ = 0.38662177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58209777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.351745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38662177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.151796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77679 KachelY 57262 0.58209777 0.38662177 33.351745 22.151796
    Oben rechts KachelX + 1 77680 KachelY 57262 0.58214571 0.38662177 33.354492 22.151796
    Unten links KachelX 77679 KachelY + 1 57263 0.58209777 0.38657737 33.351745 22.149252
    Unten rechts KachelX + 1 77680 KachelY + 1 57263 0.58214571 0.38657737 33.354492 22.149252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38662177-0.38657737) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38662177-0.38657737) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58209777-0.58214571) × cos(0.38662177) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926188143595382 × 6371000     		do = 282.881699137315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58209777-0.58214571) × cos(0.38657737) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926204884221758 × 6371000     		du = 282.886812155514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38662177)-sin(0.38657737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926188143595382-0.926204884221758)×R²
    abs(0.58214571-0.58209777)×1.67406263760217e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.67406263760217e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.67406263760217e-05×40589641000000     		ar = 80020.148330082m²