Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77677 / 57045
↖ ↑ ↗
← N 22.702722°
E 33.346253°		 ← 281.76 m → N 22.702722°
E 33.348999°		 →
↑
281.73 m
↓
↑
281.73 m
↓
N 22.700188°
E 33.346253°		 ← 281.77 m →
79 380 m²		 N 22.700188°
E 33.348999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592632293701172 y=0.435222625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592632293701172 × 217)
    floor (0.592632293701172 × 131072)
    floor (77677.5)     		tx = 77677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435222625732422 × 217)
    floor (0.435222625732422 × 131072)
    floor (57045.5)     		ty = 57045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77677 / 57045 ti = "17/77677/57045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77677/57045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77677 ÷ 217
    77677 ÷ 131072     		x = 0.592628479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57045 ÷ 217
    57045 ÷ 131072     		y = 0.435218811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592628479003906 × 2 - 1) × π
    0.185256958007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58200190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435218811035156 × 2 - 1) × π
    0.129562377929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.407032214673897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58200190} λ = 0.58200190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407032214673897))-π/2
    2×atan(1.50235250267835)-π/2
    2×0.983516785020018-π/2
    1.96703357004004-1.57079632675     		φ = 0.39623724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58200190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.346253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39623724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.702722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77677 KachelY 57045 0.58200190 0.39623724 33.346253 22.702722
    Oben rechts KachelX + 1 77678 KachelY 57045 0.58204984 0.39623724 33.348999 22.702722
    Unten links KachelX 77677 KachelY + 1 57046 0.58200190 0.39619302 33.346253 22.700188
    Unten rechts KachelX + 1 77678 KachelY + 1 57046 0.58204984 0.39619302 33.348999 22.700188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39623724-0.39619302) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dl = 281.725619999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39623724-0.39619302) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dr = 281.725619999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58200190-0.58204984) × cos(0.39623724) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.922519757956742 × 6371000     		do = 281.761279739026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58200190-0.58204984) × cos(0.39619302) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.922536823757694 × 6371000     		du = 281.766492073911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39623724)-sin(0.39619302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922519757956742-0.922536823757694)×R²
    abs(0.58204984-0.58200190)×1.70658009521762e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.70658009521762e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.70658009521762e-05×40589641000000     		ar = 79380.1054635786m²