Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77676 / 57315
↖ ↑ ↗
← N 22.016907°
E 33.343506°		 ← 283.15 m → N 22.016907°
E 33.346253°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
N 22.014361°
E 33.343506°		 ← 283.16 m →
80 169 m²		 N 22.014361°
E 33.346253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592624664306641 y=0.437282562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592624664306641 × 217)
    floor (0.592624664306641 × 131072)
    floor (77676.5)     		tx = 77676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437282562255859 × 217)
    floor (0.437282562255859 × 131072)
    floor (57315.5)     		ty = 57315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77676 / 57315 ti = "17/77676/57315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77676/57315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77676 ÷ 217
    77676 ÷ 131072     		x = 0.592620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57315 ÷ 217
    57315 ÷ 131072     		y = 0.437278747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592620849609375 × 2 - 1) × π
    0.18524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58195396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437278747558594 × 2 - 1) × π
    0.125442504882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.394089251776482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58195396} λ = 0.58195396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394089251776482))-π/2
    2×atan(1.48303290608955)-π/2
    2×0.9775319221602-π/2
    1.9550638443204-1.57079632675     		φ = 0.38426752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58195396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.343506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38426752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.016907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77676 KachelY 57315 0.58195396 0.38426752 33.343506 22.016907
    Oben rechts KachelX + 1 77677 KachelY 57315 0.58200190 0.38426752 33.346253 22.016907
    Unten links KachelX 77676 KachelY + 1 57316 0.58195396 0.38422308 33.343506 22.014361
    Unten rechts KachelX + 1 77677 KachelY + 1 57316 0.58200190 0.38422308 33.346253 22.014361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38426752-0.38422308) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dl = 283.127239999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38426752-0.38422308) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dr = 283.127239999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58195396-0.58200190) × cos(0.38426752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927073273578913 × 6371000     		do = 283.152040616876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58195396-0.58200190) × cos(0.38422308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927089932338429 × 6371000     		du = 283.157128630829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38426752)-sin(0.38422308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927073273578913-0.927089932338429)×R²
    abs(0.58200190-0.58195396)×1.66587595152867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66587595152867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66587595152867e-05×40589641000000     		ar = 80168.7760511014m²