Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77676 / 57212
↖ ↑ ↗
← N 22.278930°
E 33.343506°		 ← 282.63 m → N 22.278930°
E 33.346253°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
N 22.276389°
E 33.343506°		 ← 282.63 m →
79 876 m²		 N 22.276389°
E 33.346253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592624664306641 y=0.436496734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592624664306641 × 217)
    floor (0.592624664306641 × 131072)
    floor (77676.5)     		tx = 77676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436496734619141 × 217)
    floor (0.436496734619141 × 131072)
    floor (57212.5)     		ty = 57212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77676 / 57212 ti = "17/77676/57212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77676/57212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77676 ÷ 217
    77676 ÷ 131072     		x = 0.592620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57212 ÷ 217
    57212 ÷ 131072     		y = 0.436492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592620849609375 × 2 - 1) × π
    0.18524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58195396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436492919921875 × 2 - 1) × π
    0.12701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.399026752437347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58195396} λ = 0.58195396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399026752437347))-π/2
    2×atan(1.49037348919748)-π/2
    2×0.97981850977497-π/2
    1.95963701954994-1.57079632675     		φ = 0.38884069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58195396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.343506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38884069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.278930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77676 KachelY 57212 0.58195396 0.38884069 33.343506 22.278930
    Oben rechts KachelX + 1 77677 KachelY 57212 0.58200190 0.38884069 33.346253 22.278930
    Unten links KachelX 77676 KachelY + 1 57213 0.58195396 0.38879633 33.343506 22.276389
    Unten rechts KachelX + 1 77677 KachelY + 1 57213 0.58200190 0.38879633 33.346253 22.276389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38884069-0.38879633) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dl = 282.61755999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38884069-0.38879633) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dr = 282.61755999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58195396-0.58200190) × cos(0.38884069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925349194451451 × 6371000     		do = 282.625462473553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58195396-0.58200190) × cos(0.38879633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925366011122472 × 6371000     		du = 282.630598717744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38884069)-sin(0.38879633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925349194451451-0.925366011122472)×R²
    abs(0.58200190-0.58195396)×1.6816671020714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6816671020714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6816671020714e-05×40589641000000     		ar = 79875.6444075958m²