Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77675 / 57172
↖ ↑ ↗
← N 22.380555°
E 33.340759°		 ← 282.42 m → N 22.380555°
E 33.343506°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.378016°
E 33.340759°		 ← 282.42 m →
79 746 m²		 N 22.378016°
E 33.343506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592617034912109 y=0.436191558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592617034912109 × 217)
    floor (0.592617034912109 × 131072)
    floor (77675.5)     		tx = 77675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436191558837891 × 217)
    floor (0.436191558837891 × 131072)
    floor (57172.5)     		ty = 57172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77675 / 57172 ti = "17/77675/57172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77675/57172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77675 ÷ 217
    77675 ÷ 131072     		x = 0.592613220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57172 ÷ 217
    57172 ÷ 131072     		y = 0.436187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592613220214844 × 2 - 1) × π
    0.185226440429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58190602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    0.12762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40094422842215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58190602} λ = 0.58190602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40094422842215))-π/2
    2×atan(1.49323398616208)-π/2
    2×0.980705354354718-π/2
    1.96141070870944-1.57079632675     		φ = 0.39061438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58190602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.340759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39061438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.380555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77675 KachelY 57172 0.58190602 0.39061438 33.340759 22.380555
    Oben rechts KachelX + 1 77676 KachelY 57172 0.58195396 0.39061438 33.343506 22.380555
    Unten links KachelX 77675 KachelY + 1 57173 0.58190602 0.39057006 33.340759 22.378016
    Unten rechts KachelX + 1 77676 KachelY + 1 57173 0.58195396 0.39057006 33.343506 22.378016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39061438-0.39057006) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dl = 282.362719999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39061438-0.39057006) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dr = 282.362719999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58190602-0.58195396) × cos(0.39061438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924675305154155 × 6371000     		do = 282.419639336249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58190602-0.58195396) × cos(0.39057006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92469217937802 × 6371000     		du = 282.424793158559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39061438)-sin(0.39057006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924675305154155-0.92469217937802)×R²
    abs(0.58195396-0.58190602)×1.68742238647601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68742238647601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68742238647601e-05×40589641000000     		ar = 79745.5051810511m²