Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77674 / 58026
↖ ↑ ↗
← N 20.195191°
E 33.338013°		 ← 286.59 m → N 20.195191°
E 33.340759°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.192613°
E 33.338013°		 ← 286.59 m →
82 146 m²		 N 20.192613°
E 33.340759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592609405517578 y=0.442707061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592609405517578 × 217)
    floor (0.592609405517578 × 131072)
    floor (77674.5)     		tx = 77674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442707061767578 × 217)
    floor (0.442707061767578 × 131072)
    floor (58026.5)     		ty = 58026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77674 / 58026 ti = "17/77674/58026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77674/58026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77674 ÷ 217
    77674 ÷ 131072     		x = 0.592605590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58026 ÷ 217
    58026 ÷ 131072     		y = 0.442703247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592605590820312 × 2 - 1) × π
    0.185211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58185809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442703247070312 × 2 - 1) × π
    0.114593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360006116146622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58185809} λ = 0.58185809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360006116146622))-π/2
    2×atan(1.43333818104001)-π/2
    2×0.961634448229824-π/2
    1.92326889645965-1.57079632675     		φ = 0.35247257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58185809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.338013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35247257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.195191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77674 KachelY 58026 0.58185809 0.35247257 33.338013 20.195191
    Oben rechts KachelX + 1 77675 KachelY 58026 0.58190602 0.35247257 33.340759 20.195191
    Unten links KachelX 77674 KachelY + 1 58027 0.58185809 0.35242758 33.338013 20.192613
    Unten rechts KachelX + 1 77675 KachelY + 1 58027 0.58190602 0.35242758 33.340759 20.192613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35247257-0.35242758) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dl = 286.63128999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35247257-0.35242758) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dr = 286.63128999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58185809-0.58190602) × cos(0.35247257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938522003405315 × 6371000     		do = 286.588984159689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58185809-0.58190602) × cos(0.35242758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938537533877261 × 6371000     		du = 286.59372657613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35247257)-sin(0.35242758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938522003405315-0.938537533877261)×R²
    abs(0.58190602-0.58185809)×1.55304719461347e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55304719461347e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55304719461347e-05×40589641000000     		ar = 82146.049905714m²