Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77674 / 58010
↖ ↑ ↗
← N 20.236429°
E 33.338013°		 ← 286.51 m → N 20.236429°
E 33.340759°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 20.233852°
E 33.338013°		 ← 286.52 m →
82 106 m²		 N 20.233852°
E 33.340759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592609405517578 y=0.442584991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592609405517578 × 217)
    floor (0.592609405517578 × 131072)
    floor (77674.5)     		tx = 77674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442584991455078 × 217)
    floor (0.442584991455078 × 131072)
    floor (58010.5)     		ty = 58010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77674 / 58010 ti = "17/77674/58010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77674/58010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77674 ÷ 217
    77674 ÷ 131072     		x = 0.592605590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58010 ÷ 217
    58010 ÷ 131072     		y = 0.442581176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592605590820312 × 2 - 1) × π
    0.185211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58185809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442581176757812 × 2 - 1) × π
    0.114837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360773106540543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58185809} λ = 0.58185809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360773106540543))-π/2
    2×atan(1.43443795936189)-π/2
    2×0.961994319233918-π/2
    1.92398863846784-1.57079632675     		φ = 0.35319231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58185809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.338013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35319231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.236429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77674 KachelY 58010 0.58185809 0.35319231 33.338013 20.236429
    Oben rechts KachelX + 1 77675 KachelY 58010 0.58190602 0.35319231 33.340759 20.236429
    Unten links KachelX 77674 KachelY + 1 58011 0.58185809 0.35314733 33.338013 20.233852
    Unten rechts KachelX + 1 77675 KachelY + 1 58011 0.58190602 0.35314733 33.340759 20.233852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35319231-0.35314733) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dl = 286.567580000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35319231-0.35314733) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dr = 286.567580000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58185809-0.58190602) × cos(0.35319231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938273292110954 × 6371000     		do = 286.513037173959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58185809-0.58190602) × cos(0.35314733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938288849510978 × 6371000     		du = 286.517787813212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35319231)-sin(0.35314733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938273292110954-0.938288849510978)×R²
    abs(0.58190602-0.58185809)×1.55574000235692e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55574000235692e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55574000235692e-05×40589641000000     		ar = 82106.0284049545m²