Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77672 / 58024
↖ ↑ ↗
← N 20.200346°
E 33.332519°		 ← 286.64 m → N 20.200346°
E 33.335266°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.197768°
E 33.332519°		 ← 286.64 m →
82 160 m²		 N 20.197768°
E 33.335266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592594146728516 y=0.442691802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592594146728516 × 217)
    floor (0.592594146728516 × 131072)
    floor (77672.5)     		tx = 77672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442691802978516 × 217)
    floor (0.442691802978516 × 131072)
    floor (58024.5)     		ty = 58024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77672 / 58024 ti = "17/77672/58024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77672/58024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77672 ÷ 217
    77672 ÷ 131072     		x = 0.59259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58024 ÷ 217
    58024 ÷ 131072     		y = 0.44268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59259033203125 × 2 - 1) × π
    0.1851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58176221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44268798828125 × 2 - 1) × π
    0.1146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360101989945862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58176221} λ = 0.58176221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360101989945862))-π/2
    2×atan(1.4334756072047)-π/2
    2×0.96167943732032-π/2
    1.92335887464064-1.57079632675     		φ = 0.35256255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58176221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.332519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35256255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.200346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77672 KachelY 58024 0.58176221 0.35256255 33.332519 20.200346
    Oben rechts KachelX + 1 77673 KachelY 58024 0.58181015 0.35256255 33.335266 20.200346
    Unten links KachelX 77672 KachelY + 1 58025 0.58176221 0.35251756 33.332519 20.197768
    Unten rechts KachelX + 1 77673 KachelY + 1 58025 0.58181015 0.35251756 33.335266 20.197768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35256255-0.35251756) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dl = 286.63128999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35256255-0.35251756) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dr = 286.63128999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58176221-0.58181015) × cos(0.35256255) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938490936762467 × 6371000     		do = 286.639288844445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58176221-0.58181015) × cos(0.35251756) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938506471033706 × 6371000     		du = 286.644033410734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35256255)-sin(0.35251756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938490936762467-0.938506471033706)×R²
    abs(0.58181015-0.58176221)×1.55342712396811e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.55342712396811e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.55342712396811e-05×40589641000000     		ar = 82160.469110588m²