Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77672 / 57256
↖ ↑ ↗
← N 22.167058°
E 33.332519°		 ← 282.85 m → N 22.167058°
E 33.335266°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.164514°
E 33.332519°		 ← 282.86 m →
80 011 m²		 N 22.164514°
E 33.335266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592594146728516 y=0.436832427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592594146728516 × 217)
    floor (0.592594146728516 × 131072)
    floor (77672.5)     		tx = 77672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436832427978516 × 217)
    floor (0.436832427978516 × 131072)
    floor (57256.5)     		ty = 57256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77672 / 57256 ti = "17/77672/57256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77672/57256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77672 ÷ 217
    77672 ÷ 131072     		x = 0.59259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57256 ÷ 217
    57256 ÷ 131072     		y = 0.43682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59259033203125 × 2 - 1) × π
    0.1851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58176221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43682861328125 × 2 - 1) × π
    0.1263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.396917528854065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58176221} λ = 0.58176221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396917528854065))-π/2
    2×atan(1.48723327116132)-π/2
    2×0.978842235942292-π/2
    1.95768447188458-1.57079632675     		φ = 0.38688815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58176221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.332519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38688815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.167058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77672 KachelY 57256 0.58176221 0.38688815 33.332519 22.167058
    Oben rechts KachelX + 1 77673 KachelY 57256 0.58181015 0.38688815 33.335266 22.167058
    Unten links KachelX 77672 KachelY + 1 57257 0.58176221 0.38684375 33.332519 22.164514
    Unten rechts KachelX + 1 77673 KachelY + 1 57257 0.58181015 0.38684375 33.335266 22.164514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38688815-0.38684375) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38688815-0.38684375) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58176221-0.58181015) × cos(0.38688815) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926087669041593 × 6371000     		do = 282.851011622373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58176221-0.58181015) × cos(0.38684375) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926104420621754 × 6371000     		du = 282.85612798614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38688815)-sin(0.38684375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926087669041593-0.926104420621754)×R²
    abs(0.58181015-0.58176221)×1.67515801601237e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.67515801601237e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.67515801601237e-05×40589641000000     		ar = 80011.4681522123m²