Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77671 / 84191
↖ ↑ ↗
← S 45.519820°
E 33.329773°		 ← 213.96 m → S 45.519820°
E 33.332519°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
S 45.521744°
E 33.329773°		 ← 213.95 m →
45 773 m²		 S 45.521744°
E 33.332519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592586517333984 y=0.642330169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592586517333984 × 217)
    floor (0.592586517333984 × 131072)
    floor (77671.5)     		tx = 77671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642330169677734 × 217)
    floor (0.642330169677734 × 131072)
    floor (84191.5)     		ty = 84191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77671 / 84191 ti = "17/77671/84191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77671/84191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77671 ÷ 217
    77671 ÷ 131072     		x = 0.592582702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84191 ÷ 217
    84191 ÷ 131072     		y = 0.642326354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592582702636719 × 2 - 1) × π
    0.185165405273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58171428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642326354980469 × 2 - 1) × π
    -0.284652709960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.894262862412148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58171428} λ = 0.58171428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894262862412148))-π/2
    2×atan(0.408908909700699)-π/2
    2×0.388162800787036-π/2
    0.776325601574072-1.57079632675     		φ = -0.79447073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58171428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.329773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79447073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.519820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77671 KachelY 84191 0.58171428 -0.79447073 33.329773 -45.519820
    Oben rechts KachelX + 1 77672 KachelY 84191 0.58176221 -0.79447073 33.332519 -45.519820
    Unten links KachelX 77671 KachelY + 1 84192 0.58171428 -0.79450431 33.329773 -45.521744
    Unten rechts KachelX + 1 77672 KachelY + 1 84192 0.58176221 -0.79450431 33.332519 -45.521744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79447073--0.79450431) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79447073--0.79450431) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58171428-0.58176221) × cos(-0.79447073) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.700662494529344 × 6371000     		do = 213.95572167398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58171428-0.58176221) × cos(-0.79450431) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.700638535043895 × 6371000     		du = 213.948405356865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79447073)-sin(-0.79450431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700662494529344-0.700638535043895)×R²
    abs(0.58176221-0.58171428)×2.39594854497538e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39594854497538e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39594854497538e-05×40589641000000     		ar = 45772.5150801968m²